حاسبة الضرب الاتجاهي
حاصل (2, 3, 4) × (5, 6, 7) هو (−3, 6, −3)، ومساحة متوازي الأضلاع الذي يحددانه √54: أدخل متجهين في الفضاء لتحصل على المتجه العمودي عليهما وتلك المساحة. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تضرب حاسبة الضرب الاتجاهي هذه متجهين ثلاثيي الأبعاد وفق قاعدة اليد اليمنى، وتُرجع كلًّا من المتجه الناتج a×b ومساحة متوازي الأضلاع الذي يحصره المتجهان. تساوي المساحة المقدار الإقليدي للضرب الاتجاهي، فتحصل من عملية حتمية واحدة على الاتجاه العمودي والتوجّه المُوقَّع في الفضاء ومساحة عددية غير سالبة مفيدة في الهندسة والفيزياء والرسوميات. من الفحوص الكلاسيكية أن i × j = k، فالزوج الوحدوي (1,0,0) و(0,1,0) يعطي (0,0,1) بمساحة 1، والمثال العام (2,3,4) مضروبًا اتجاهيًا في (5,6,7) يعطي (−3, 6, −3) بمساحة تساوي √54. يعتمد المحرك على حساب منتهٍ فقط، بلا اتصال بالشبكة ولا عيّنات عشوائية ولا اختصارات مرتبطة بالتاريخ.
ماذا يعني الضرب الاتجاهي وما الذي يحتويه الرد
الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو متجه ثالث عمودي على المتجهين معًا، ويتبع اتجاهه قاعدة اليد اليمنى: وجّه أصابعك على طول a ثم اطوها نحو b، فيشير إبهامك إلى اتجاه a×b. جبريًا، إذا كان a = (ax, ay, az) وb = (bx, by, bz)، فإن مركّبات الناتج هي ay·bz − az·by للمركّبة الأولى، وaz·bx − ax·bz للثانية، وax·by − ay·bx للثالثة. هذا البناء غير تبديلي بالإشارة: b×a يساوي سالب a×b، وهو خطي في كل من طرفيه.
طول الناتج يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحصره a وb، وهي أيضًا القيمة المطلقة لحاصل ضرب |a|·|b| في جيب الزاوية المحصورة بينهما. من حالات الرفض غياب a أو b، أو مركّبات غير منتهية، أو مقادير تتجاوز السقف الموثَّق، وأي متجه ليس ثلاثي الأبعاد، لأن الضرب الاتجاهي الكلاسيكي مُعرَّف لطول ثلاثة فقط، وأي مصفوفة بطول اثنين أو أربعة تمثّل عملية مختلفة تمامًا.
أين يُستخدم الضرب الاتجاهي في الدراسة والفيزياء والبرمجيات
يلتقي الطلاب بالضرب الاتجاهي حين ينتقل الكتاب المدرسي من المتجهات المستوية إلى الهندسة ثلاثية الأبعاد، أو حين تطلب مسألة في مسابقة مساحة متوازي أضلاع أو مثلث في الفضاء دون تفاضل وتكامل، أو حين يبنون عموديًا على مستوٍ من اتجاهي ضلعين. يستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابات مسبقًا لمركّبات صحيحة معتدلة دون الاعتماد على تطبيقات حاسبة مبهمة تُسقِط إشارة سالبة على المركّبة الوسطى بصمت.
يستدعي المطورون العقد نفسه من نصوصهم البرمجية لتوليد متجهات اختبار حتمية للأعمدة السطحية للشبكات المضلعية، أو للتحقق من اتجاهات عزم الدوران في عروض أجسام صلبة بسيطة، أو لتلبية متطلبات تحديات برمجية تطلب a×b ومساحة متوازي الأضلاع معًا بدلًا من رسم تقريبي باليد. غالبًا ما يحتاج التدريب على المسابقات مصدرًا سريعًا وغير متصل لنواتج موجَّهة حتى يمكن التحقق من الحلول دون آلات رسم بياني تحت ضغط الوقت. تستخدم أدوات المنتجات والتعليم إعادة الصياغة هذه حين يكتب المتعلم زوجين ثلاثيين وتحتاج الواجهة إلى عرض ناتج عمودي وقيمة مساحة نظيفة.
اجمع بينها وبين أدوات ضرب المصفوفات أو الأنظمة الخطية حين تحتاج خطوات جبرية ذات صلة، ومع نقاط نهاية رياضية أخرى حين تبني مختبرًا صغيرًا من أدوات متجهية مجانية وحتمية.
حالات الاستخدام
الواجب المدرسي وتحقّقات الهندسة
احسب a×b ومساحة متوازي الأضلاع لمسائل المتجهات ثلاثية الأبعاد المدرسية قبل الرسم البياني أو إيجاد الأعمدة السطحية.
بيانات اختبار حتمية
ولّد حقلي cross وarea قابلين لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدات وفحوص الأعمدة السطحية وتأكيدات CI.
خطوط أنابيب الفيزياء والرسوميات
طبّع اتجاهات عزم الدوران وأعمدة الأوجه ومساحات متوازيات الأضلاع من ثلاثيات يُدخلها المستخدم في العروض والمختبرات.
الأسئلة الشائعة
كيف يُعرَّف a×b؟
إذا كان a=(ax,ay,az) وb=(bx,by,bz)، فإن a×b = (ay·bz−az·by, az·bx−ax·bz, ax·by−ay·bx). ومساحة متوازي الأضلاع هي المقدار الإقليدي لهذا الناتج.
ماذا يحدث إن لم يكن المتجه ثلاثي الأبعاد؟
يجب أن يكون كلٌّ من a وb مصفوفة من ثلاثة أعداد منتهية بالضبط؛ فأي طول آخر ليس الضرب الاتجاهي الكلاسيكي ثلاثي الأبعاد.
هل تحسب هذه الأداة الضرب القياسي (النقطي)؟
لا. فهي تُرجع فقط الضرب الاتجاهي ومساحة متوازي الأضلاع (‖a×b‖). استخدم أداة الضرب القياسي إن احتجت a·b.
لماذا تُقرَّب النتائج إلى دقة معينة؟
الدقة الافتراضية عشر خانات عشرية، ويمكنك ضبطها بين 0 و15.
هل يغيّر ترتيب المتجهين النتيجة؟
نعم، تبديل الترتيب يعكس الاتجاه: b × a هو سالب a × b. أما الطول، ومن ثم مساحة متوازي الأضلاع، فيبقى كما هو.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cross_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs_component | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
استخدمها مجانًا في المتصفح للواجب المدرسي ومسابقات الرياضيات وفحوص الشبكات المضلعية، أو استدعِ واجهة API بسعر $0.002 لكل طلب ناجح حين تحتاج متجهات ثابتة وقابلة لإعادة الإنتاج في اختبارات CI أو برمجيات التدريس أو خطوط أنابيب المحاكاة.
ماذا يعني الضرب الاتجاهي وما الذي يحتويه الرد
تُرجع هذه الحاسبة المتجهين المُدخَلين a وb بعد تطبيعهما، ومصفوفة الضرب الاتجاهي ذات المركّبات الثلاث، والمساحة غير السالبة، وحقل magnitude يساوي تلك المساحة للمستدعين الذين يفضّلون تسمية على طراز الفيزياء، وعلامة الطريقة cross_product، والدقة المستخدمة، وتذكيرًا موجزًا بالصيغة. لا يوجد مسار تقريبي بطريقة مونت كارلو ولا إعادة صياغة رمزية (CAS): فإما يبني المحرك مركّبات عشرية دقيقة ضمن النطاق المدعوم، أو يرفض الطلب برسالة invalid_input. إن احتجت إلى الضرب القياسي (النقطي)، أو ضرب مصفوفات، أو مقدار «ضرب اتجاهي» ثنائي البعد على طراز المحدِّدات فقط، استخدم الأدوات المخصصة لذلك؛ هذه الصفحة تجيب فقط عن الضرب الاتجاهي الكامل ثلاثي الأبعاد بمساحة عددية ثابتة تناسب أوراق العمل واختبارات الوحدات ومستهلكي API الذين لا يريدون خطوات هندسية مُخترَعة.
كيف يُقرأ a وb وكيف تبقى النتائج قابلة لإعادة الإنتاج
تُقبَل أيضًا الصيغ الكائنية بمفاتيح x وy وz حين يُرسل النموذج مركّبات مُبنينة بدلًا من مصفوفة مجرّدة. تُقبَل إشارات الجمع البادئة الاختيارية والترميز العلمي في نصوص المركّبات ما دامت تُقرأ كأعداد عشرية منتهية؛ أما المسافات المُضمَّنة وبادئات الست عشري والرموز غير الرقمية فتُرفض برسالة واضحة، حتى لا تتحول خانة خاطئة إلى عمودي خاطئ. المتجهات الصفرية والمتجهات المتوازية مُدخَلات صالحة: تنتج ببساطة ضربًا اتجاهيًا صفريًا ومساحة صفرية، وهي الإجابة الهندسية الصحيحة لا خطأ. الحقلان المفضَّلان هما a للمتجه الأول وb للثاني، كلٌّ منهما مصفوفة من ثلاثة أعداد منتهية بالضبط، لكن يُقبَل أيضًا u وvector_a وleft بديلًا عن a، وv وvector_b وright بديلًا عن b، حتى تُعيد جداول البيانات وسلاسل الاستعلام والنماذج المكتوبة استخدام العقد نفسه. أي متجه طوله ليس ثلاثة بالضبط يفشل برسالة invalid_input تذكر الشكل ثلاثي الأبعاد المطلوب، فلا يمرّ بصمت زوج مستوٍ ثنائي المركّبات أو رباعية إحداثيات متجانسة. حقل الدقة precision الاختياري، وله اسما بديلان decimals وdp، يحدد عدد الخانات العشرية المعروضة لكل مركّبة وللمساحة، وقيمته الافتراضية عشرة والحد الأقصى خمسة عشر حفاظًا على ثبات ملفات JSON المرجعية. اجمع بين التشغيل المجاني في المتصفح على هذه الصفحة وواجهة API المدفوعة حين تحتاج النتيجة الرياضية ذاتها داخل خط أنابيب آلي دون إعادة تنفيذ قاعدة اليد اليمنى بنفسك.
أين يُستخدم الضرب الاتجاهي في الدراسة والفيزياء والبرمجيات
يعمل هذا كله داخل متصفحك مجانًا على هذه الصفحة؛ ومن خلال API يكلف كل استعلام ناجح $0.002، ولا يُحتسَب التحقق الفاشل، ولا يُحفَظ شيء بعد إرجاع الرد. هذا الفصل بين الاستكشاف التفاعلي المجاني وواجهة API المدفوعة المطابقة له يوافق بقية كتالوج KIT من الفئة A، ويتيح لك الانتقال من عرض توضيحي في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة الضرب الاتجاهي؟
هي مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. أما عبر API فيكلف كل طلب ناجح $0.002؛ ولا تُحتسَب المدخلات غير الصالحة.