外積計算機
(2, 3, 4) × (5, 6, 7)は(−3, 6, −3)で、2つが張る平行四辺形の面積は√54です。空間の2つのベクトルを入力すると、垂直なベクトルとその面積が分かります。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
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無料で実行
処理はブラウザ内で完結します。ファイルは送信されません。無料でご利用いただけます。
この外積計算機は、右手の法則に基づく公式で2つの3次元ベクトルを掛け合わせ、結果のベクトル a×b と、それらのベクトルが張る平行四辺形の面積の両方を返します。面積は外積のユークリッドノルムに等しいため、この決定的な1回の計算で、垂直方向、空間内の符号付きの向き、そして幾何学・物理学・グラフィックスに役立つ非負のスカラー面積が同時に得られます。定番の確認例としては、i×j = k が成り立つため、単位ベクトル対 (1,0,0) と (0,1,0) から (0,0,1) と面積1が得られ、一般的な例として (2,3,4) と (5,6,7) の外積からは (−3, 6, −3) と面積 √54 が得られます。この計算エンジンは有限の算術演算のみを使用し、ネットワーク通信やサンプリング、日付に依存する近道は一切ありません。宿題やコンテスト対策、メッシュの検証には、ブラウザ上で無料でご利用いただけます。
外積とは何か、結果で分かること
3次元空間における2つのベクトルの外積とは、両方の入力ベクトルに垂直な第3のベクトルであり、その向きは右手の法則に従います。指を a に沿わせ、b の方向に曲げると、親指が a×b の向きを示します。
代数的には、a = (ax, ay, az)、b = (bx, by, bz) のとき、各成分は1つ目が ay×bz − az×by、2つ目が az×bx − ax×bz、3つ目が ax×by − ay×bx となります。この構成は反対称であるため b×a は a×b の符号を反転させたものに等しく、また2つの引数について双線形です。
結果の長さは a と b が張る平行四辺形の面積に等しく、これは |a| |b| に挟角の正弦をかけた値の絶対値とも一致します。近似的なモンテカルロ経路や記号的なCASによる書き換えは一切ありません。拒否されるケースには、a または b が欠けている場合、有限でない成分、文書化された上限を超える大きさの値、そして3次元でないベクトルが含まれます。
古典的なベクトル積は次元3に対して定義されており、次元2や次元4の配列は別の演算になるためです。スカラー積(内積)や行列積、2次元の行列式のような「外積」の大きさのみが必要な場合は、それぞれの専用ツールをご利用ください。
外積が学習・物理学・ソフトウェアで果たす役割
生徒が外積に出会うのは、教科書が平面ベクトルから3次元幾何学へと進むとき、微積分を使わずに空間内の平行四辺形や三角形の面積を求めるコンテスト問題に取り組むとき、あるいは2本の辺の方向から平面の法線を求めるときです。教師は、中央の成分の符号を勝手に落としてしまう不透明な電卓アプリを信用せずに、扱いやすい整数成分についての解答例を事前に生成できます。
開発者は同じ契約をスクリプトから呼び出し、メッシュ法線向けの決定的なテストベクターを準備したり、簡単な剛体デモでトルクの向きを検証したり、なんとなくのスケッチではなく a×b と平行四辺形の面積の両方を要求するプログラミングチャレンジの課題を満たしたりします。
コンテスト対策では、時間制限の中でグラフ電卓を使わずに解答を検証できる、向きを持つ積の高速なオフライン情報源がしばしば必要になります。プロダクトや教育向けツールは、学習者が2つの3成分ベクトルを入力し、UIが垂直な結果ときれいな面積の値を示さなければならないときに、この計算を利用します。
活用例
宿題と幾何学の確認
教科書の3次元ベクトル問題について、グラフを描く前や表面法線を求める前に a×b と平行四辺形の面積を計算します。
物理学・グラフィックスのパイプライン
デモやラボで、ユーザーが入力したタプルからトルクの向き、面法線、平行四辺形の面積を正規化します。
よくある質問
外積計算機の利用料金はいくらですか?
このページ上でブラウザからご利用いただく場合は無料です。無効な入力には課金されません。
a×b はどのように定義されますか?
a=(ax,ay,az)、b=(bx,by,bz) のとき、a×b = (ay·bz−az·by, az·bx−ax·bz, ax·by−ay·bx) です。平行四辺形の面積はその結果のユークリッドノルムです。
ベクトルが3次元でない場合はどうなりますか?
a と b はどちらもちょうど3つの有限数からなる配列でなければならず、それ以外の長さは古典的な3次元の外積にはなりません。
このツールは内積を計算しますか?
いいえ。 このツールが返すのはベクトルの外積と平行四辺形の面積(||a×b||)のみです。a·b が必要な場合はスカラー積の専用ツールをご利用ください。
結果が特定の精度に丸められるのはなぜですか?
既定の精度は小数点以下10桁で、0から15の範囲で precision を指定できます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cross_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_abs_component | 1000000000000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
CI環境や教育向けソフトウェア、シミュレーションのパイプラインで再現性のあるベクトルのフィクスチャが必要な場合は、成功したリクエスト1件につき$0.002でAPIをご利用いただけます。
外積とは何か、レスポンスに含まれる内容
この計算機は、正規化された入力ベクトル a と b、3成分の cross 配列、非負の面積、物理学的な名称を好む利用者向けにその面積と等しい magnitude フィールド、手法タグ cross_product、使用した精度、簡潔な公式の説明を返します。このエンジンは、対応する範囲内で厳密な浮動小数点の成分を構築するか、それができない場合は invalid_input として入力を拒否します。このページが答えるのは完全な3次元外積であり、ワークシートや単体テスト、幾何学的な手順を勝手に作り出してはならないAPI利用者に適した、安定した数値面積を提供します。
a と b の読み取り方と、結果の再現性の保ち方
フォームが単なる配列の代わりに構造化された成分を送信する場合に備え、x・y・z のキーを持つオブジェクト形式も任意で受け付けます。成分の文字列に付く先頭のプラス記号や指数表記は、有限の10進数としてパースできる限り許可されますが、埋め込まれた空白や16進数プレフィックス、数値でないトークンは明確なメッセージとともに拒否されます。不正なセルの値がそのまま誤った法線になってしまわないようにするためです。ゼロベクトルや平行なベクトルは有効な入力です。それらは単純にゼロの外積とゼロの平行四辺形面積を生み出すだけで、これはエラーではなく正しい幾何学的な答えです。2成分の平面ベクトル対や4成分の同次座標のタプルが黙って通ってしまうことはありません。優先されるフィールドは、1つ目のベクトルを表す a と、2つ目のベクトルを表す b で、それぞれちょうど3つの有限数からなる配列です。ただし、スプレッドシートやクエリ文字列、型付きフォームで同じ契約を再利用できるように、a には u、vector_a、left、b には v、vector_b、right というエイリアスも受け付けます。長さが正確に3でないベクトルはすべて invalid_input で失敗し、必要な3次元の形を明示したメッセージが返されます。自動化されたパイプラインの中で、右手の法則を自分で再実装することなく同一の数学的結果が必要な場合は、このページの無料のブラウザ実行と、有料のAPIを組み合わせてご利用ください。
外積が学習・物理学・ソフトウェアで果たす役割
このページ上での処理はすべてブラウザ内で完結しますが、APIを通じて成功したルックアップ1件ごとに$0.002が発生し、検証に失敗した場合は課金されず、レスポンスを返した後に何も保存されません。この無料の対話的な探索と、同一結果を返す有料のAPIという分離は、KITのtier-Aカタログの他の部分と一致しており、教室でのデモから、数学的な結果を変えることなく自動化されたパイプラインへと移行することを可能にします。関連する代数のステップが必要な場合は行列の積や連立方程式のツールと、無料で決定的なベクトルヘルパーの小さなラボを構築する場合は他の数学系エンドポイントと組み合わせてご利用ください。
連携の活用例
決定的なテストフィクスチャ
単体テストやメッシュ法線の検証、CIのアサーションのために、再現性のある cross と area のフィールドを生成します。