Calculadora de produto vetorial
(2, 3, 4) × (5, 6, 7) dá (−3, 6, −3), e o paralelogramo que eles formam tem área √54: digite dois vetores no espaço e obtenha o vetor perpendicular e essa área. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Roda direto no seu navegador. Grátis, sem cadastro — seus dados não são enviados para lugar nenhum.
Esta calculadora de produto vetorial multiplica dois vetores tridimensionais pela fórmula da regra da mão direita e retorna tanto o vetor resultante a×b quanto a área do paralelogramo que esses vetores formam. A área é igual à magnitude euclidiana do produto vetorial, então uma única passagem determinística fornece a direção perpendicular, a orientação com sinal no espaço e uma área escalar não negativa, útil em geometria, física e computação gráfica. Verificações clássicas incluem i × j = k, de modo que o par unitário (1, 0, 0) e (0, 1, 0) produz (0, 0, 1) com área 1, e o exemplo geral (2, 3, 4) cruzado com (5, 6, 7) resulta em (−3, 6, −3) com área igual à raiz quadrada de 54. O mecanismo usa apenas aritmética finita, sem chamadas de rede, sem amostragem e sem atalhos que dependam de data.
O que é o produto vetorial e o que a resposta contém
O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional é um terceiro vetor perpendicular a ambas as entradas, cuja direção segue a regra da mão direita: aponte os dedos ao longo de a, curve-os em direção a b, e o polegar indica o sentido de a×b. Algebricamente, se a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz), os componentes são ay·bz − az·by para a primeira entrada, az·bx − ax·bz para a segunda, e ax·by − ay·bx para a terceira.
Essa construção é antissimétrica, então b×a é igual ao negativo de a×b, e é bilinear nos dois argumentos. O comprimento do resultado é igual à área do paralelogramo formado por a e b, que também equivale ao valor absoluto de |a|·|b|·seno do ângulo formado entre eles.
Onde o produto vetorial se encaixa nos estudos, na física e no software
Os estudantes encontram o produto vetorial quando um livro-texto passa de vetores planares para a geometria tridimensional, quando um problema de olimpíada pede a área de um paralelogramo ou triângulo no espaço sem usar cálculo, ou quando precisam construir a normal de um plano a partir de duas direções de aresta. Professores podem gerar gabaritos com componentes inteiros modestos sem depender de aplicativos de calculadora opacos que trocam silenciosamente o sinal do componente do meio.
Desenvolvedores chamam o mesmo contrato a partir de scripts para gerar vetores de teste determinísticos para normais de malhas, para conferir direções de torque em demonstrações simples de corpo rígido, ou para atender enunciados de desafios de programação que exigem tanto a×b quanto a área do paralelogramo, em vez de um esboço improvisado. A prática para olimpíadas costuma precisar de uma fonte rápida e offline de produtos orientados, para que as soluções possam ser conferidas sem calculadoras gráficas sob pressão de tempo.
Ferramentas de produto e de educação usam essa reescrita quando um aluno digita duas triplas e a interface precisa mostrar um resultado perpendicular e um valor de área limpo.
Casos de uso
Lição de casa e verificação de geometria
Calcule a×b e a área do paralelogramo em problemas de vetores 3D do livro-texto antes de traçar o gráfico ou encontrar normais de superfície.
Pipelines de física e computação gráfica
Normalize direções de torque, normais de face e áreas de paralelogramo a partir de triplas digitadas pelo usuário em demonstrações e laboratórios.
Perguntas frequentes
Como a×b é definido?
Para a=(ax,ay,az) e b=(bx,by,bz), a×b = (ay·bz−az·by, az·bx−ax·bz, ax·by−ay·bx). A área do paralelogramo é a magnitude euclidiana desse resultado.
O que acontece se um vetor não for tridimensional?
Tanto a quanto b precisam ser arrays com exatamente três números finitos; outros comprimentos não correspondem ao produto vetorial 3D clássico.
Esta ferramenta calcula o produto escalar?
Não. Ela retorna apenas o produto vetorial e a área do paralelogramo (||a×b||). Use uma ferramenta de produto escalar se precisar de a·b.
Por que os resultados são arredondados a uma precisão?
A precisão padrão é de 10 casas decimais; você pode definir de 0 a 15.
A ordem dos vetores muda o resultado?
Sim. Trocar a ordem inverte o sentido: b × a é o oposto de a × b. O comprimento, e portanto a área do paralelogramo, continua o mesmo.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,0,0],"b":[0,1,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cross-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": [
1,
0,
0
],
"b": [
0,
1,
0
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cross_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs_component | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Use-a gratuitamente no navegador para lição de casa, treino para olimpíadas e conferência de malhas 3D, ou chame a API por US$ 0,002 por solicitação bem-sucedida quando precisar de vetores reproduzíveis para CI, softwares de tutoria ou pipelines de simulação.
O que é o produto vetorial e o que a resposta contém
Esta calculadora retorna os vetores de entrada normalizados a e b, o array de três componentes do produto vetorial, a área não negativa, um campo magnitude igual a essa área para quem prefere um nome ao estilo da física, a etiqueta de método cross_product, a precisão usada e um lembrete curto da fórmula. Não existe caminho aproximado por Monte Carlo nem reescrita simbólica tipo CAS: o mecanismo constrói componentes exatos em ponto flutuante dentro da faixa suportada, ou rejeita a entrada com invalid_input. Os casos rejeitados incluem a ou b ausentes, componentes não finitos, magnitudes acima do teto documentado, e qualquer vetor que não seja tridimensional, porque o produto vetorial clássico é definido apenas para comprimento três, e um array de comprimento dois ou quatro seria uma operação diferente. Se você precisa do produto escalar (dot), de um produto matricial, ou apenas de uma magnitude tipo determinante 2D chamada de 'cross', use as ferramentas dedicadas a isso; esta página resolve o produto vetorial 3D completo, com uma área numérica estável, adequada para listas de exercícios, testes unitários e consumidores de API que não podem inventar passos geométricos.
Como a e b são lidos e como os resultados permanecem reproduzíveis
Formas opcionais em objeto com as chaves x, y e z também são aceitas quando um formulário envia componentes estruturados em vez de um array simples. Sinais de mais à esquerda e notação científica nas strings dos componentes são permitidos quando se convertem em decimais finitos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais e tokens não numéricos são rejeitados com uma mensagem clara, para que uma célula ruim não vire uma normal errada. Vetores nulos e vetores paralelos são entradas válidas: eles simplesmente produzem um produto vetorial zero e área de paralelogramo zero, que é a resposta geométrica correta, não um erro. Os campos preferidos são a para o primeiro vetor e b para o segundo, cada um como um array de exatamente três números finitos, mas também são aceitos os apelidos u, vector_a e left para a, e v, vector_b e right para b, de modo que planilhas, strings de consulta e formulários tipados possam reutilizar o mesmo contrato. Qualquer vetor cujo comprimento não seja exatamente três falha com invalid_input e uma mensagem que informa o formato tridimensional exigido, para que um par planar de dois componentes ou uma tupla de coordenadas homogêneas de quatro componentes não passe silenciosamente. Um campo opcional precision, com os apelidos decimals e dp, escolhe quantas casas decimais expor em cada componente e na área, com padrão de dez e teto de quinze, para que os goldens em JSON permaneçam estáveis. Combine a execução gratuita no navegador desta página com a API paga quando precisar do mesmo resultado matemático dentro de um pipeline automatizado, sem reimplementar a regra da mão direita você mesmo.
Onde o produto vetorial se encaixa nos estudos, na física e no software
Nesta página, o trabalho roda inteiramente no seu navegador; pela API, cada consulta bem-sucedida custa US$ 0,002, a validação que falha não é cobrada, e nada fica armazenado depois que a resposta é devolvida. Essa divisão — exploração interativa gratuita e uma API paga e idêntica — segue o restante do catálogo tier A do KIT e permite passar de uma demonstração em sala de aula para um pipeline automatizado sem mudar o resultado matemático. Combine-a com ferramentas de multiplicação de matrizes ou de sistemas lineares quando precisar de outros passos de álgebra, e com outros endpoints de matemática quando estiver montando um pequeno laboratório de ferramentas vetoriais grátis e determinísticas.
Casos de integração
Fixtures de teste determinísticas
Gere campos reproduzíveis de cross e area para testes unitários, verificação de normais de malha e asserções de CI.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de produto vetorial?
É grátis no navegador, nesta página. Pela API, cada solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002; entradas inválidas não são cobradas.