Calculadora para completar o quadrado
x² + 6x + 5 vira (x + 3)² − 4, com o vértice em (−3, −4): informe os três coeficientes e obtenha a forma canônica, o ponto de virada e o eixo de simetria da parábola. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- 6
- C
- 5
- H
- -3
- K
- -4
- Vértice
- -3, -4
- Forma do vértice
- (x + 3)^2 - 4
Esta calculadora de completar o quadrado reescreve um polinômio quadrático ax² + bx + c na forma do vértice a(x − h)² + k, retornando as coordenadas h e k do vértice. Completar o quadrado é a ponte algébrica clássica entre a forma padrão e a geometria de uma parábola: o eixo de simetria fica em x = h, e o valor mínimo ou máximo é k, dependendo do sinal de a. As identidades usadas aqui são totalmente determinísticas: h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a). O mecanismo usa apenas aritmética finita, sem chamadas de rede, sem amostragem e sem atalhos que dependam de data.
Onde a forma do vértice se encaixa nos estudos, nos gráficos e no software
Os estudantes encontram o completar o quadrado quando um livro-texto passa de quadráticas expandidas para a construção de gráficos, quando um problema de olimpíada pede o mínimo de uma quadrática sem usar cálculo, ou quando precisam converter entre forma padrão e forma do vértice antes de aplicar transformações. Professores podem gerar gabaritos para coeficientes modestos sem depender de aplicativos de calculadora opacos que trocam a notação silenciosamente ou perdem o sinal de h.
Desenvolvedores chamam o mesmo contrato a partir de scripts para gerar vetores de teste determinísticos para renderizadores de parábolas, para normalizar polinômios digitados pelo usuário antes de demonstrações de otimização, ou para atender enunciados de desafios de programação que exigem h e k em vez de um esboço improvisado. A prática para olimpíadas costuma precisar de uma fonte rápida e offline de coordenadas do vértice, para que as soluções possam ser conferidas sem calculadoras gráficas sob pressão de tempo.
Ferramentas de produto e de educação usam essa reescrita quando um aluno digita ax² + bx + c e a interface precisa mostrar o vértice e uma expressão limpa a(x − h)² + k.
Casos de uso
Lição de casa e verificação do vértice
Reescreva quadráticas de livro-texto em a(x − h)² + k e verifique h e k antes de traçar o gráfico ou encontrar o mínimo/máximo.
Softwares de gráficos e tutoria
Normalize ax² + bx + c digitado pelo usuário na forma do vértice para plotadores, assistentes de passo a passo e aulas interativas.
Perguntas frequentes
Como h e k são definidos?
Para ax² + bx + c com a ≠ 0, h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a). A forma do vértice é a(x − h)² + k.
Esta ferramenta encontra as raízes da quadrática?
Não. Ela apenas reescreve o polinômio na forma do vértice e retorna h e k. Use um solucionador de raízes se precisar dos zeros da função.
Por que os resultados são arredondados a uma precisão?
A precisão padrão é de 10 casas decimais; você pode definir de 0 a 15.
k é o mínimo ou o máximo da parábola?
Depende do sinal de a. Se a for positivo, a parábola abre para cima e k é o seu mínimo; se a for negativo, ela abre para baixo e k é o seu máximo, atingido quando x vale h.
O que acontece se a for zero?
A expressão deixa de ser quadrática e não há quadrado para completar, então a calculadora recusa a entrada. Informe um coeficiente a diferente de zero, positivo ou negativo.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complete_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Alguns exemplos que você já deve conhecer: a = 1, b = 6, c = 5 resulta em h = −3 e k = −4; e a = 2, b = −8, c = 3 resulta em h = 2 e k = −5. Use-a gratuitamente no navegador para lição de casa, preparação de gráficos e treino para olimpíadas, ou chame a API por US$ 0,002 por solicitação bem-sucedida quando precisar de resultados reproduzíveis na forma do vértice para CI, softwares de tutoria ou demonstrações em sala de aula.
O que significa completar o quadrado e o que a resposta contém
Completar o quadrado reescreve ax² + bx + c de modo que os termos em x fiquem dentro de um quadrado perfeito, produzindo a(x − h)² + k. Essa forma do vértice deixa evidente o ponto de virada da parábola: o vértice é o ponto (h, k), o eixo de simetria é a reta vertical x = h, e o gráfico abre para cima quando a é positivo ou para baixo quando a é negativo. Algebricamente, divide-se o termo linear pelo dobro do coeficiente líder para localizar h, e então calcula-se o ajuste constante k = c − b²/(4a), que é exatamente o valor da função em x = h. Esta calculadora retorna os coeficientes normalizados a, b e c, os valores de h e k arredondados na precisão solicitada, um array de dois elementos com o vértice, uma string legível vertex_form como (x + 3)^2 - 4, um eco standard_form do polinômio de entrada, a etiqueta de método complete_the_square, a precisão usada e um lembrete curto da fórmula. Não existe um caminho simbólico aproximado tipo CAS nem sorteio aleatório de raízes: o mecanismo constrói h e k exatos em ponto flutuante dentro da faixa de coeficientes suportada, ou rejeita a entrada com invalid_input. Os casos rejeitados incluem a, b ou c ausentes, valores não finitos, magnitudes acima do teto documentado, e qualquer a igual a zero ou numericamente zero, porque uma expressão linear ou constante não é uma quadrática e não tem uma forma do vértice única desse tipo. Se você precisa de raízes, fatoração ou um esboço completo do gráfico, use as ferramentas dedicadas a isso; esta página resolve apenas a reescrita de completar o quadrado, com saída numérica estável, adequada para listas de exercícios, testes unitários e consumidores de API que não podem inventar passos simbólicos.
Como a, b e c são lidos e como h e k permanecem reproduzíveis
Sinais de mais à esquerda e notação científica nas strings dos coeficientes são permitidos quando se convertem em decimais finitos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais e tokens não numéricos são rejeitados com uma mensagem clara, para que uma célula ruim não vire um vértice errado. Zero em b ou c é válido e simplesmente produz um vértice mais simples ou um deslocamento vertical puro. Os campos preferidos são a para o coeficiente líder, b para o coeficiente linear e c para o termo constante, mas também são aceitos os apelidos A e leading para a, B e linear para b, e C e constant para c, de modo que planilhas, strings de consulta e formulários tipados possam reutilizar o mesmo contrato. O coeficiente líder a precisa ser diferente de zero: se o valor absoluto de a estiver em ou abaixo de um épsilon minúsculo, a solicitação falha com invalid_input, porque a expressão deixa de ser quadrática. Um campo opcional precision, com os apelidos decimals e dp, escolhe quantas casas decimais expor para a, b, c, h e k, com padrão de dez e teto de quinze, para que os goldens em JSON permaneçam estáveis. Combine a execução gratuita no navegador desta página com a API paga quando precisar do mesmo resultado matemático dentro de um pipeline automatizado, sem reimplementar as fórmulas do vértice você mesmo.
Onde a forma do vértice se encaixa nos estudos, nos gráficos e no software
Nesta página, o trabalho roda inteiramente no seu navegador; pela API, cada consulta bem-sucedida custa US$ 0,002, a validação que falha não é cobrada, e nada fica armazenado depois que a resposta é devolvida. Essa divisão — exploração interativa gratuita e uma API paga e idêntica — segue o restante do catálogo tier A do KIT e permite passar de uma demonstração em sala de aula para um pipeline automatizado sem mudar o resultado matemático. Combine-a com ferramentas de raízes de quadráticas ou sistemas lineares quando precisar de outros passos de álgebra, e com outros endpoints de matemática quando estiver montando um pequeno laboratório de ferramentas de álgebra grátis e determinísticas.
Casos de integração
Fixtures de teste determinísticas
Gere valores reproduzíveis de h, k e strings vertex_form para testes unitários, verificações de propriedades e asserções de CI.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de completar o quadrado?
É grátis no navegador, nesta página. Pela API, cada solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002; entradas inválidas não são cobradas.
O que acontece se a for zero?
A entrada é rejeitada com invalid_input. Com a = 0 a expressão vira linear ou constante, deixando de ser uma quadrática com uma forma do vértice única desse tipo.