Calcolatore per completare il quadrato
x² + 6x + 5 diventa (x + 3)² − 4, con il vertice in (−3, −4): inserisca i tre coefficienti e ottenga la forma canonica, il vertice e l'asse di simmetria della parabola. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 1
- B
- 6
- C
- 5
- H
- -3
- K
- -4
- Vertice
- -3, -4
- Forma del vertice
- (x + 3)^2 - 4
Questo calcolatore per completare il quadrato riscrive un polinomio quadratico ax² + bx + c nella forma del vertice a(x − h)² + k e restituisce le coordinate del vertice h e k. Completare il quadrato è il classico ponte algebrico tra la forma standard e la geometria di una parabola: l'asse di simmetria si trova in x = h, e il valore minimo o massimo è k, a seconda del segno di a. Le identità usate qui sono completamente deterministiche: h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a). Il motore usa solo aritmetica finita, senza chiamate di rete, senza campionamento e senza scorciatoie legate alla data.
Dove si colloca la forma del vertice nello studio, nei grafici e nel software
Gli studenti incontrano il completamento del quadrato quando un libro di testo passa dalle quadratiche sviluppate ai grafici, quando un problema di gara chiede il minimo di una quadratica senza usare il calcolo differenziale, oppure quando convertono tra forma standard e forma del vertice prima di applicare trasformazioni. Gli insegnanti possono pregenerare le soluzioni per coefficienti modesti senza affidarsi ad app calcolatrici opache che cambiano notazione in silenzio o perdono il segno di h.
Gli sviluppatori richiamano lo stesso contratto da script per generare vettori di test deterministici per i renderer di parabole, per normalizzare polinomi inseriti dall'utente prima di demo di ottimizzazione, o per soddisfare consegne di programmazione che richiedono h e k invece di uno schizzo approssimativo. Nelle gare serve spesso una fonte rapida e offline delle coordinate del vertice, così le soluzioni possono essere verificate senza calcolatrici grafiche sotto pressione di tempo.
Gli strumenti di prodotto e didattici usano la riscrittura quando chi impara digita ax² + bx + c e l'interfaccia deve mostrare il vertice e un'espressione pulita a(x − h)² + k.
Casi d'uso
Compiti e verifica del vertice
Riscriva le quadratiche del libro di testo in a(x − h)² + k e verifichi h e k prima di disegnare il grafico o trovare il minimo/massimo.
Software di grafica e tutoraggio
Normalizzi ax² + bx + c inseriti dall'utente nella forma del vertice per plotter, aiuti passo-passo e lezioni interattive.
Domande frequenti
Come sono definiti h e k?
Per ax² + bx + c con a ≠ 0, h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a). La forma del vertice è a(x − h)² + k.
Questo strumento trova le radici della quadratica?
No. Riscrive soltanto il polinomio nella forma del vertice e restituisce h e k. Usi un risolutore di radici se ha bisogno degli zeri.
Perché i risultati sono arrotondati a una precisione?
La precisione predefinita è di 10 cifre decimali; può impostare la precisione da 0 a 15.
k è il minimo o il massimo della parabola?
Dipende dal segno di a. Se a è positivo la parabola è rivolta verso l'alto e k è il suo minimo; se a è negativo è rivolta verso il basso e k è il suo massimo, raggiunto quando x vale h.
Cosa succede se a è zero?
L'espressione non è più quadratica e non c'è alcun quadrato da completare, quindi la calcolatrice rifiuta i dati. Inserisca un coefficiente a diverso da zero, positivo o negativo.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complete_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Alcune verifiche che potrebbe già conoscere: con a = 1, b = 6, c = 5 si ottiene h = −3 e k = −4, mentre con a = 2, b = −8, c = 3 si ottiene h = 2 e k = −5.
Cosa significa completare il quadrato e cosa contiene la risposta
Completare il quadrato riscrive ax² + bx + c in modo che i termini in x rientrino in un quadrato perfetto, producendo a(x − h)² + k. Questa forma del vertice rende evidente il punto di svolta della parabola: il vertice è il punto (h, k), l'asse di simmetria è la retta verticale x = h, e il grafico si apre verso l'alto se a è positivo o verso il basso se a è negativo. Algebricamente, si divide il contributo lineare per il doppio del coefficiente direttivo per individuare h, poi si calcola la correzione costante k = c − b²/(4a), che corrisponde esattamente al valore della funzione in x = h. Questo calcolatore restituisce i coefficienti normalizzati a, b e c, i valori h e k arrotondati alla precisione richiesta, un array vertex a due elementi, una stringa vertex_form leggibile come (x + 3)^2 - 4, un'eco standard_form del polinomio inserito, l'etichetta di metodo complete_the_square, la precisione usata e un breve promemoria della formula. Non esiste un percorso CAS simbolico approssimato né un campionamento casuale delle radici: il motore costruisce h e k in virgola mobile esatta entro l'intervallo di coefficienti supportato, oppure rifiuta l'input con invalid_input. I casi rifiutati includono a, b o c mancanti, valori non finiti, grandezze superiori al limite documentato e qualsiasi a pari a zero o numericamente zero, perché un'espressione lineare o costante non è una quadratica e non ha una forma del vertice unica di questo tipo. Se ha bisogno delle radici, della scomposizione in fattori o di uno schizzo completo del grafico, usi quegli strumenti dedicati; questa pagina risponde solo alla riscrittura per completamento del quadrato, con un output numerico stabile adatto a schede di esercizi, test unitari e consumatori dell'API che non devono inventare passaggi simbolici.
Come vengono letti a, b e c, e come restano riproducibili h e k
Sono ammessi segni più iniziali opzionali e notazione scientifica nelle stringhe dei coefficienti, purché vengano interpretati come decimali finiti; spazi incorporati, prefissi esadecimali e token non numerici vengono respinti con un messaggio chiaro, così una cella sbagliata non genera un vertice sbagliato. Zero per b o per c è un valore valido e produce semplicemente un vertice più semplice o uno spostamento verticale puro. I campi preferiti sono a per il coefficiente direttivo, b per il coefficiente lineare e c per il termine costante, ma sono accettati anche gli alias A e leading per a, B e linear per b, e C e constant per c, così fogli di calcolo, query string e moduli tipizzati possono riusare lo stesso contratto. Il coefficiente direttivo a deve essere diverso da zero: se il valore assoluto di a è pari o inferiore a un piccolo epsilon, la richiesta fallisce con invalid_input perché l'espressione non è quadratica. Abbini l'esecuzione gratuita nel browser di questa pagina con l'API a pagamento quando ha bisogno dello stesso risultato matematico all'interno di una pipeline automatizzata, senza dover reimplementare da sé le formule del vertice.
Dove si colloca la forma del vertice nello studio, nei grafici e nel software
In questa pagina il lavoro avviene interamente nel Suo browser; tramite l'API ogni ricerca riuscita costa $0.002, la validazione fallita non viene addebitata e nulla viene conservato dopo la restituzione della risposta. Questa separazione — esplorazione interattiva gratuita e API identica a pagamento — corrisponde al resto del catalogo tier A di KIT e Le permette di passare da una dimostrazione in aula a una pipeline automatizzata senza cambiare il risultato matematico. Lo abbini a strumenti per le radici quadratiche o per sistemi lineari quando ha bisogno di passaggi algebrici correlati, e ad altri endpoint di matematica quando sta costruendo un piccolo laboratorio di strumenti algebrici gratuiti e deterministici.
Casi di integrazione
Fixture di test deterministiche
Generi h, k e stringhe vertex_form riproducibili per test unitari, controlli di proprietà e verifiche CI.
Domande tecniche
Quanto costa il calcolatore per completare il quadrato?
È gratis nel browser in questa pagina. Tramite l'API una richiesta riuscita costa $0.002; gli input non validi non vengono addebitati.
Cosa succede se a è zero?
L'input viene rifiutato con invalid_input. a = 0 rende l'espressione lineare o costante, non una quadratica con una forma del vertice unica di questo tipo.