Calcolatore MCD tra polinomi
Trovi il fattore comune a due polinomi: x² − 3x + 2 e x − 1 hanno MCD x − 1, ottenuto in 1 passo di Euclide e sempre con coefficiente direttore 1. Gratis nel suo browser.
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Questo calcolatore MCD tra polinomi trova il massimo comun divisore di due polinomi forniti come array densi di coefficienti dal grado più alto in poi. Esegue il classico algoritmo euclideo: sostituisce la coppia con il secondo polinomio e il resto del primo modulo il secondo finché il resto non è zero, poi scala l'ultimo resto diverso da zero così il suo coefficiente direttivo sia uno (un MCD monico). Fattori lineari condivisi, verifiche di divisione esatta e test di coprimalità si riducono tutti a questa unica primitiva. Alcune verifiche che potrebbe già conoscere: x² − 3x + 2 e x − 1 condividono il fattore x − 1, e x² − 1 con x − 1 produce di nuovo x − 1. Il motore usa solo aritmetica in virgola mobile deterministica su vettori di coefficienti: nessuna chiamata di rete, nessun campionamento e nessuna scorciatoia legata alla data.
Cosa restituisce il MCD tra polinomi e come funziona la normalizzazione monica
Il massimo comun divisore di due polinomi è un polinomio di grado massimo che divide entrambi, unico a meno di uno scalare diverso da zero sul campo dei coefficienti. Questo calcolatore restituisce un rappresentante monico: al termine del ciclo euclideo, ogni coefficiente viene diviso per il coefficiente direttivo, così la risposta inizia sempre con uno quando il MCD è diverso da zero.
Input e output usano array densi di coefficienti dal grado più alto in poi; per esempio 1, −3, 2 significa x² − 3x + 2, e 1, −1 significa x − 1.
La risposta riporta gli input normalizzati dopo aver eliminato gli zeri iniziali, restituisce l'array gcd monico arrotondato alla precisione richiesta, riporta i gradi di entrambi gli input e del MCD, imposta un flag coprime quando il MCD monico è la costante uno, costruisce stringhe leggibili come x^2 - 3x + 2 per schede di esercizi e interfacce, e registra quanti passaggi di resto ha eseguito l'algoritmo euclideo.
Se esattamente un input è zero, viene restituita la forma monica dell'altro, coerentemente con la convenzione usuale secondo cui il MCD di f e zero è un multiplo unitario di f. Non esiste un percorso CAS simbolico né un campionamento casuale delle radici: il motore completa le riduzioni euclidee entro i limiti di grado e grandezza supportati, oppure rifiuta l'input.
Dove si colloca il MCD polinomiale nello studio, nel codice e nell'insegnamento
Gli studenti incontrano il MCD polinomiale quando un libro di testo introduce l'algoritmo euclideo sull'anello dei polinomi, quando semplificano fattori comuni in un'espressione razionale, o quando verificano se due cubiche condividono un fattore lineare prima di applicare le frazioni parziali. Gli insegnanti possono pregenerare le soluzioni per gradi modesti senza affidarsi ad app calcolatrici opache che nascondono i resti intermedi o riscalano in silenzio con contenuti non monici.
Gli sviluppatori richiamano lo stesso contratto da script per generare vettori di test deterministici per moduli di algebra computazionale, per semplificare rapporti di polinomi inseriti dall'utente, o per soddisfare consegne di programmazione che richiedono un array MCD monico invece di un elenco di fattori approssimativo. Nelle gare serve spesso una fonte rapida e offline di risultati di MCD polinomiale, così le soluzioni possono essere verificate senza calcolatrici grafiche sotto pressione di tempo.
Casi d'uso
Compiti e verifiche di fattori comuni
Trovi MCD polinomiali monici per esercizi da manuale sull'algoritmo euclideo e semplifichi fattori comuni in espressioni razionali.
Tutoraggio e front-end CAS
Normalizzi due polinomi inseriti dall'utente in un MCD monico con gradi, flag coprime e stringhe leggibili per le lezioni.
Domande frequenti
Come è definito il MCD?
È un polinomio monico di grado massimo che divide entrambi gli input, ottenuto tramite l'algoritmo euclideo (resto polinomiale ripetuto) e normalizzazione del coefficiente direttivo.
Come devo codificare i polinomi?
Passi array densi di coefficienti dal grado più alto in poi, per esempio [1, -3, 2] per x² − 3x + 2 e [1, -1] per x − 1.
Cosa significa il flag coprime?
Quando il MCD monico è la costante 1, i polinomi non condividono alcun fattore comune di grado positivo e coprime è true.
Cosa succede se uno dei due polinomi è zero?
Ottiene l'altro polinomio, riscalato in modo che il coefficiente direttore sia 1, perché ogni polinomio divide lo zero. Se entrambi sono zero, il calcolo viene rifiutato, dato che il MCD non è definito.
Che cosa vuol dire che due polinomi sono primi tra loro?
Vuol dire che l'unico divisore comune è una costante, cioè il MCD normalizzato è 1. In quel caso il risultato segnala che non condividono alcun fattore.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", {
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-1
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})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_gcd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_degree | 64 |
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa restituisce il MCD tra polinomi e come funziona la normalizzazione monica
Il grado di un polinomio diverso da zero è pari alla lunghezza del suo array di coefficienti ridotto meno uno; il polinomio nullo viene riportato con grado zero e l'unico coefficiente zero, così i consumatori JSON non hanno mai bisogno di array vuoti. Entrambi i polinomi zero vengono rifiutati con invalid_input perché il MCD di zero e zero non è definito in questo contratto. Se ha bisogno della divisione lunga completa con quoziente e resto esposti, della scomposizione in fattori irriducibili, o del MCD tra numeri interi invece che tra polinomi, usi quegli strumenti dedicati; questa pagina risponde solo al MCD polinomiale monico via resti euclidei, con coefficienti numerici stabili adatti a test unitari e consumatori dell'API.
Come vengono letti i coefficienti e come il ciclo euclideo resta riproducibile
Sono ammessi coefficienti in forma di stringa che si interpretano come decimali finiti, inclusa la notazione scientifica opzionale; spazi incorporati, prefissi esadecimali e token non numerici vengono respinti con un messaggio chiaro, così una cella sbagliata non genera un divisore sbagliato. I coefficienti zero iniziali vengono eliminati prima della riduzione, così 0, 1, 2 e 1, 2 rappresentano lo stesso polinomio lineare. Ogni passaggio euclideo calcola il resto del dividendo corrente modulo il divisore corrente tramite divisione lunga di vettori di coefficienti, poi scambia: il vecchio divisore diventa il nuovo dividendo e il resto diventa il nuovo divisore, esattamente come per il MCD tra interi. Un piccolo epsilon elimina i termini direttivi quasi nulli così il rumore in virgola mobile non inventa falsi resti di grado elevato. I campi preferiti sono a e b, ciascuno un array non vuoto di numeri finiti dal grado più alto fino al termine costante. Sono accettati gli alias p, poly1, f e first per il primo polinomio e q, poly2, g e second per il secondo, così fogli di calcolo, query string e moduli tipizzati possono riusare lo stesso contratto. Abbini l'esecuzione gratuita nel browser di questa pagina con l'API a pagamento quando ha bisogno dello stesso risultato matematico all'interno di una pipeline automatizzata.
Dove si colloca il MCD polinomiale nello studio, nel codice e nell'insegnamento
I prodotti didattici usano la riscrittura quando chi impara digita due elenchi di coefficienti e l'interfaccia deve mostrare insieme a_poly, b_poly e gcd_poly con il flag coprime e il conteggio dei passaggi euclidei. In questa pagina il lavoro avviene interamente nel Suo browser; tramite l'API ogni ricerca riuscita costa $0.002, la validazione fallita non viene addebitata e nulla viene conservato dopo la restituzione della risposta. Questa separazione — esplorazione interattiva gratuita e API identica a pagamento — corrisponde al resto del catalogo tier A di KIT e Le permette di passare da una dimostrazione in aula a una pipeline automatizzata senza cambiare il risultato matematico. Lo abbini alla divisione polinomiale lunga quando ha bisogno anche dei quozienti oltre ai resti, a strumenti di MCD tra interi quando gli oggetti sono numeri invece di polinomi, e ad altri endpoint algebrici quando sta costruendo un piccolo laboratorio di strumenti gratuiti e deterministici per compiti e test software.
Casi di integrazione
Fixture di test deterministiche
Generi array di coefficienti MCD monici e stringhe polinomiali riproducibili per test unitari, controlli di proprietà e verifiche CI.
Domande tecniche
Quanto costa il calcolatore MCD tra polinomi?
È gratis nel browser in questa pagina. Tramite l'API una richiesta riuscita costa $0.002; gli input non validi non vengono addebitati.
Cosa succede se entrambi i polinomi sono zero?
L'input viene rifiutato con invalid_input. gcd(0, 0) non è definito in questo contratto.