Calculadora de MCD de polinomios
Encuentre el factor que comparten dos polinomios: x² − 3x + 2 y x − 1 tienen como máximo común divisor x − 1, hallado en 1 paso de Euclides y siempre con coeficiente principal 1. Gratis en su navegador.
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Esta calculadora de MCD de polinomios encuentra el máximo común divisor de dos polinomios dados como arrays de coeficientes densos con el grado más alto primero. Ejecuta el algoritmo clásico de Euclides: sustituye el par por el segundo polinomio y el resto del primero módulo el segundo, hasta que el resto es cero, y a continuación escala el último resto distinto de cero para que su coeficiente principal sea uno (un MCD mónico). Los factores lineales compartidos, las comprobaciones de división exacta y las pruebas de coprimalidad se reducen todas a esta única operación primitiva. Algunas comprobaciones clásicas que quizá ya conozca incluyen x al cuadrado menos tres x más dos y x menos uno, que comparten el factor x menos uno, y x al cuadrado menos uno con x menos uno, que de nuevo da x menos uno. El motor usa únicamente aritmética determinista en punto flotante sobre vectores de coeficientes: sin llamadas de red, sin muestreo y sin atajos que dependan de la fecha.
Qué devuelve el MCD de polinomios y cómo funciona la normalización mónica
El máximo común divisor de dos polinomios es un polinomio del mayor grado que divide a ambos, único salvo un escalar distinto de cero sobre el cuerpo de coeficientes. Esta calculadora devuelve un representante mónico: cuando termina el bucle de Euclides, cada coeficiente se divide entre el coeficiente principal, de modo que la respuesta siempre empieza con uno cuando el MCD es distinto de cero.
Las entradas y salidas usan arrays de coeficientes densos con el grado más alto primero; por ejemplo, uno, menos tres, dos representa x al cuadrado menos tres x más dos, y uno, menos uno representa x menos uno.
La respuesta devuelve las entradas normalizadas tras eliminar los ceros iniciales, devuelve el array gcd mónico redondeado a la precisión solicitada, informa los grados de ambas entradas y del gcd, activa un indicador coprime cuando el gcd mónico es la constante uno, construye cadenas legibles como x^2 - 3x + 2 para hojas de ejercicios e interfaces, y registra cuántos pasos de resto realizó el algoritmo de Euclides.
Si exactamente una entrada es cero, se devuelve la forma mónica de la otra, en concordancia con la convención habitual de que el gcd de f y cero es un múltiplo unitario de f. No hay ninguna ruta simbólica de tipo CAS ni muestreo aleatorio de raíces: el motor completa las reducciones de Euclides dentro de los límites admitidos de grado y magnitud, o bien rechaza la entrada.
Cómo se leen los coeficientes y cómo el bucle de Euclides se mantiene reproducible
Se admiten coeficientes en forma de cadena que se interpreten como decimales finitos, incluida la notación científica opcional; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y los tokens no numéricos se rechazan con un mensaje claro, para que una celda incorrecta no se convierta en un divisor equivocado. Los coeficientes con ceros iniciales se recortan antes de la reducción, de modo que cero, uno, dos y uno, dos representan el mismo polinomio lineal.
Cada paso de Euclides calcula el resto del dividendo actual módulo el divisor actual mediante división larga de vectores de coeficientes, y luego intercambia: el divisor anterior se convierte en el nuevo dividendo y el resto se convierte en el nuevo divisor, exactamente como en el MCD de enteros. Un pequeño épsilon elimina los términos principales casi nulos, para que el ruido de punto flotante no invente restos falsos de grado alto.
Cuando el bucle termina, el escalado mónico fuerza el coeficiente principal a uno, lo que hace que los goldens y las cachés sean independientes de los múltiplos escalares arbitrarios que permite el álgebra.
Dónde encaja el MCD de polinomios en el estudio, el código y la enseñanza
Los estudiantes se encuentran con el MCD de polinomios cuando un libro de texto introduce el algoritmo de Euclides sobre el anillo de polinomios, cuando cancelan factores comunes en una expresión racional, o cuando comprueban si dos polinomios cúbicos comparten un factor lineal antes de aplicar fracciones parciales. Los profesores pueden generar de antemano claves de respuesta para grados modestos sin confiar en aplicaciones de calculadora opacas que ocultan los restos intermedios o reescalan en silencio mediante contenidos no mónicos.
Los desarrolladores llaman al mismo contrato desde scripts para sembrar vectores de prueba deterministas para módulos de álgebra computacional, para simplificar razones de polinomios introducidos por el usuario, o para satisfacer enunciados de desafíos de programación que exigen un array de coeficientes de MCD mónico en lugar de una lista de factores hecha a ojo. La práctica de competencias suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de resultados de MCD de polinomios, para que las soluciones puedan comprobarse sin calculadoras gráficas bajo presión de tiempo.
Qué puede hacer con ella
Tareas y comprobaciones de factores compartidos
Encuentre MCD mónicos de polinomios para ejercicios de libro de texto sobre el algoritmo de Euclides y cancele factores comunes en expresiones racionales.
Tutoría e interfaces de CAS
Normalice dos polinomios introducidos por el usuario en un MCD mónico con los grados, el indicador coprime y cadenas de polinomio legibles para las lecciones.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta la calculadora de MCD de polinomios?
Es gratis en su navegador en esta página.
¿Cómo se define el MCD?
Es un polinomio mónico del mayor grado que divide a ambas entradas, obtenido mediante el algoritmo de Euclides (resto polinómico repetido) y la normalización del coeficiente principal.
¿Cómo debo codificar los polinomios?
Pase arrays de coeficientes densos con el grado más alto primero, por ejemplo [1, -3, 2] para x² − 3x + 2 y [1, -1] para x − 1.
¿Qué significa el indicador coprime?
Cuando el MCD mónico es la constante 1, los polinomios no comparten ningún factor de raíz común de grado positivo y coprime es true.
¿Qué pasa si uno de los dos polinomios es cero?
Obtiene el otro polinomio, escalado para que su coeficiente principal sea 1, porque todo polinomio divide a cero. Si ambos son cero, el cálculo se rechaza, ya que su máximo común divisor no está definido.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd \
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-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", {
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", false, stream_context_create([
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_gcd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_degree | 64 |
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Qué devuelve el MCD de polinomios y cómo funciona la normalización mónica
El grado de un polinomio distinto de cero es uno menos que la longitud de su array de coeficientes recortado; el polinomio cero se informa con grado cero y el coeficiente único cero, de modo que los consumidores de JSON nunca necesiten arrays vacíos. Si ambos polinomios son cero, se rechaza con invalid_input, porque el gcd de cero y cero no está definido en este contrato.
Cómo se leen los coeficientes y cómo el bucle de Euclides se mantiene reproducible
Los campos preferidos son a y b, cada uno un array no vacío de números finitos desde el grado más alto hasta el término constante. Se aceptan los alias p, poly1, f y first para el primer polinomio, y q, poly2, g y second para el segundo, de modo que hojas de cálculo, cadenas de consulta y formularios tipados puedan reutilizar el mismo contrato. Un campo opcional precision, con los alias decimals y dp, elige cuántos decimales exponer para cada coeficiente de la respuesta; el valor por defecto es diez, con un tope de quince, para que los goldens de JSON se mantengan estables entre ejecuciones. Combine la ejecución gratuita en el navegador de esta página con la API de pago cuando necesite el mismo resultado matemático dentro de una canalización automatizada.
Dónde encaja el MCD de polinomios en el estudio, el código y la enseñanza
Los productos educativos usan esta reescritura cuando un alumno escribe dos listas de coeficientes y la interfaz debe mostrar a_poly, b_poly y gcd_poly junto con el indicador coprime y el número de pasos de Euclides. En esta página el trabajo se ejecuta enteramente en su navegador; a través de la API, cada consulta exitosa cuesta $0.002, la validación fallida no se cobra, y no se almacena nada después de devolver la respuesta. Esa división —exploración interactiva gratuita y una API idéntica de pago— coincide con el resto del catálogo de nivel A del KIT y le permite pasar de una demostración de aula a una canalización automatizada sin cambiar el resultado matemático. Combínela con la división larga de polinomios cuando necesite también cocientes además de restos, con herramientas de coprimalidad de enteros cuando los objetos sean números en lugar de polinomios, y con otros endpoints de álgebra cuando esté construyendo un pequeño laboratorio de ayudantes deterministas y gratuitos para tareas y pruebas de software.
Casos de integración
Fixtures deterministas de prueba
Genere arrays de coeficientes de MCD mónico y cadenas de polinomio reproducibles para pruebas unitarias, comprobaciones de propiedades y aserciones de integración continua.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre si ambos polinomios son cero?
La entrada se rechaza con invalid_input. gcd(0, 0) no está definido en este contrato.