Descomposicion QR de una matriz
Factorice una matriz real en Q, con columnas ortonormales, y R, triangular superior, mediante Gram-Schmidt: la matriz de filas 3, 1 y 0, 2 ya es triangular, así que Q es la identidad y R coincide con ella. Hasta 20 filas y 20 columnas. Gratis en su navegador.
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Esta calculadora de descomposición QR factoriza una matriz real A en un factor ortonormal Q y un factor triangular superior R, de modo que A es igual a Q por R, aplicando el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de A. Cuando una columna es combinación lineal de las anteriores, el residual tras la ortogonalización se anula y la solicitud se rechaza con entrada inválida, en lugar de inventar un sustituto revelador de rango o una ruta Householder. La aritmética es totalmente determinista: productos internos, normas euclídeas y actualizaciones de columna usan solo operaciones finitas en coma flotante, sin llamadas de red, sin muestreo y sin atajos que dependan de la fecha.
Qué significa la descomposición QR y qué contiene la respuesta
La factorización QR de una matriz real A con m filas y n columnas, donde m es al menos n, escribe A como el producto de una matriz Q de m por n cuyas columnas son ortonormales y una matriz R triangular superior de n por n. Ortonormal significa que la transpuesta de Q por Q es igual a la identidad de orden n: cada columna tiene longitud euclídea uno y columnas distintas son ortogonales entre sí.
La existencia de esta factorización delgada con diagonal estrictamente positiva en R equivale a que las columnas de A sean linealmente independientes. Si una columna posterior yace en el span de las anteriores, Gram-Schmidt produce un residual cuya norma euclídea es cero y no puede formarse una columna unitaria bien definida. Esta calculadora aplica el proceso de Gram-Schmidt, modificado para estabilidad numérica, a las columnas que usted suministra, registra los productos internos sucesivos en R y normaliza cada residual para obtener Q.
Dónde encaja la factorización QR en el estudio, la ciencia y el software
Los estudiantes encuentran la descomposición QR cuando un curso de álgebra lineal pasa de la ortogonalización de Gram-Schmidt a los mínimos cuadrados, cuando un problema de concurso pide Q y R de una matriz entera pequeña, o cuando comprueban que la transpuesta de Q por Q es la identidad antes de confiar en un cálculo hecho a mano.
Los docentes pueden generar de antemano claves de respuestas para valores modestos de m y n sin fiarse de aplicaciones de calculadora opacas que cambien en silencio a reflectores Householder, inviertan signos de columna o descarten una columna dependiente sin decirlo.
Los desarrolladores llaman al mismo contrato desde scripts para sembrar vectores de prueba deterministas para resolvedores, para ortonormalizar columnas de base introducidas por el usuario antes de una demostración de proyección, o para satisfacer enunciados de retos de programación que exigen el par QR de Gram-Schmidt en lugar de un bosquejo.
La práctica de ingeniería y de datos a menudo necesita una factorización rápida y sin conexión de un sistema pequeño de rango completo, para poder comprobar un residual de mínimos cuadrados o un cambio de base sin un paquete completo de álgebra computacional bajo presión de tiempo. Las herramientas de producto y educación usan la factorización cuando un estudiante escribe una matriz y la interfaz debe mostrar Q junto a R con el método nombrado.
Mantenga m y n modestos y los coeficientes dentro de magnitudes habituales de coma flotante para que la cancelación no domine; en enteros de aula y escalas de ingeniería típicas los factores son exactos dentro de la precisión doble.
Qué puede hacer con ella
Tareas y comprobaciones de Gram-Schmidt
Factorice matrices de libro de texto en Q y R y verifique que Q tiene columnas ortonormales y que A es igual a Q por R antes de exámenes o lecciones de mínimos cuadrados.
Resolvedores y software de tutoría
Ortonormalice columnas de base introducidas por el usuario en un par QR delgado para demostraciones de proyección, ayudantes de mínimos cuadrados y lecciones interactivas de álgebra lineal.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta la calculadora de descomposición QR?
Es gratuita en su navegador en esta página.
¿Cómo se calculan Q y R?
Mediante Gram-Schmidt modificado sobre las columnas de A. Cada columna se ortogonaliza contra las columnas unitarias ya aceptadas; la longitud del residual se convierte en una entrada diagonal positiva de R y el residual se escala a longitud unitaria para formar la siguiente columna de Q.
¿Qué ocurre si las columnas son linealmente dependientes?
Un residual de longitud casi nula significa que una columna posterior yace en el span de las anteriores, de modo que no existe un QR delgado con diagonal estrictamente positiva. Esta herramienta no descarta columnas ni devuelve un sustituto revelador de rango.
¿Funciona con matrices rectangulares?
Sí, cuando la matriz es alta o cuadrada (al menos tantas filas como columnas) y las columnas son linealmente independientes. Una matriz ancha con más columnas que filas se rechaza porque esas columnas no pueden ser independientes.
¿Por qué se redondean los resultados a una precisión?
La precisión por defecto es 10 decimales; puede fijar precision de 0 a 15.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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[
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1
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[
1,
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1
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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[
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1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"matrix": [
[
1,
1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.qr_decomposition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_rows | 20 |
max_cols | 20 |
max_abs_entry | 1000000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cuando las columnas son linealmente independientes, el motor devuelve ambas matrices, el número de filas y de columnas, la etiqueta del método y la precisión de redondeo usada para un contrato JSON estable.
Qué significa la descomposición QR y qué contiene la respuesta
La respuesta devuelve Q y R redondeadas a la precisión solicitada, un eco de la matriz de entrada, las dimensiones, la etiqueta de método gram_schmidt, la precisión usada y un breve recordatorio de la fórmula. No hay ruta de reflectores Householder, ni de rotaciones de Givens, ni un fallback revelador de rango: el motor termina con una factorización de rango de columna completo dentro de los límites documentados de tamaño y magnitud, o rechaza la entrada con invalid_input. Los casos rechazados incluyen una matriz ausente, filas que no son arreglos, formas irregulares, más columnas que filas, entradas no finitas, magnitudes por encima del techo y cualquier matriz cuyas columnas sean linealmente dependientes.
Cómo se lee la matriz y cómo Q y R se mantienen reproducibles
Se permiten signos más iniciales opcionales y notación científica en las cadenas de las entradas cuando se interpretan como decimales finitos; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y los tokens no numéricos se rechazan con un mensaje claro, para que una celda incorrecta no se convierta en un factor erróneo. La forma debe ser alta o cuadrada: m filas por n columnas con m al menos n, porque más columnas que filas no pueden ser linealmente independientes. El cálculo usa Gram-Schmidt modificado: cada columna de trabajo se ortogonaliza contra las columnas unitarias ya aceptadas, la longitud del residual se convierte en la siguiente entrada diagonal positiva de R, y el residual se escala a longitud unitaria. El campo preferido es matrix, un arreglo anidado de filas de números finitos con el mismo recuento de columnas en cada fila, pero se aceptan los alias a, A y mat para que hojas de cálculo, cadenas de consulta y formularios tipados reutilicen el mismo contrato. Un campo opcional precision, con los alias decimals y dp, elige cuántos decimales exponer en cada entrada de Q y de R, con valor por defecto diez y tope quince para que los goldens de JSON se mantengan estables. Un residual cuya longitud cae por debajo de una tolerancia absoluta y relativa estricta se trata como dependencia lineal y falla con invalid_input. Combine la ejecución gratuita en el navegador de esta página con la API de pago cuando necesite el mismo resultado matemático dentro de un pipeline automatizado, sin reimplementar Gram-Schmidt usted mismo.
Dónde encaja la factorización QR en el estudio, la ciencia y el software
En esta página el trabajo se ejecuta enteramente en su navegador; a través de la API cada consulta exitosa cuesta $0.002, la validación fallida no se cobra, y nada se almacena después de que se devuelve la respuesta. Esa separación —exploración interactiva gratuita y una API de pago idéntica— coincide con el resto del catálogo de nivel A y le permite pasar de una demostración de aula a un pipeline automatizado sin cambiar el resultado matemático.
Casos de integración
Fixtures de prueba deterministas
Genere valores reproducibles de Q y R para pruebas unitarias, comprobaciones de propiedades y aserciones de integración continua que no deben depender de una biblioteca numérica local.