QR-Zerlegung einer Matrix

Sind die Spalten linear unabhängig, liefert die Engine beide Matrizen, die Zeilen- und Spaltenzahl, die Methodenkennzeichnung und die Rundungsgenauigkeit für einen stabilen JSON-Vertrag.

Was die QR-Zerlegung bedeutet und was die Antwort enthält

Die Antwort liefert Q und R, gerundet auf die angeforderte Genauigkeit, ein Echo der Eingabematrix, die Abmessungen, die Methodenkennzeichnung gram_schmidt, die verwendete Genauigkeit und eine kurze Formelerinnerung. Es gibt keinen Householder-Reflektor-Pfad, keinen Givens-Rotations-Pfad und keinen rangenthüllenden Rückfall: die Engine beendet entweder eine Faktorisierung mit vollem Spaltenrang innerhalb der dokumentierten Größen- und Betragsgrenzen oder lehnt die Eingabe mit invalid_input ab. Abgelehnte Fälle umfassen eine fehlende Matrix, Zeilen, die keine Arrays sind, unregelmäßige Formen, mehr Spalten als Zeilen, nichtendliche Einträge, Beträge oberhalb der Decke und jede Matrix, deren Spalten linear abhängig sind. Wenn Sie eine Inverse, eine Determinante, eine Rangzählung oder die Lösung von A x gleich b brauchen, nutzen Sie ein dafür bestimmtes Werkzeug; diese Seite beantwortet nur das QR-Paar mit stabiler numerischer Ausgabe, geeignet für Übungsblätter, Einheitstests und API-Verbraucher, die keine Ersatzfaktorisierung erfinden dürfen.

Wie die Matrix gelesen wird und wie Q und R reproduzierbar bleiben

Das bevorzugte Feld ist matrix, ein verschachteltes Array aus Zeilen endlicher Zahlen mit derselben Spaltenzahl in jeder Zeile, doch die Aliasse a, A und mat werden akzeptiert, damit Tabellenkalkulationen, Abfragezeichenfolgen und typisierte Formulare denselben Vertrag wiederverwenden. Optionale führende Pluszeichen und wissenschaftliche Notation auf Eintragszeichenfolgen sind zulässig, wenn sie sich als endliche Dezimalzahlen lesen; eingebettete Leerzeichen, Hexadezimalpräfixe und nichtnumerische Token werden mit einer klaren Meldung abgelehnt, damit eine schlechte Zelle nicht zum falschen Faktor wird. Die Form muss hoch oder quadratisch sein: m Zeilen mal n Spalten mit m mindestens n, weil mehr Spalten als Zeilen nicht linear unabhängig sein können. Die Rechnung nutzt abgewandeltes Gram-Schmidt: jede Arbeitsspalte wird gegen die bereits akzeptierten Einheits-Spalten orthogonalisiert, die Residuallänge wird zum nächsten positiven Diagonaleintrag von R, und das Residual wird auf Einheitslänge skaliert. Ein optionales Feld precision, mit den Aliassen decimals und dp, wählt, wie viele Dezimalstellen für jeden Eintrag von Q und R ausgewiesen werden, standardmäßig zehn und nach oben auf fünfzehn begrenzt, damit JSON-Goldens stabil bleiben. Ein Residual, dessen Länge unter eine enge absolute und relative Toleranz fällt, gilt als lineare Abhängigkeit und scheitert mit invalid_input. Kombinieren Sie den kostenlosen Browserlauf auf dieser Seite mit der tarifierten API, wenn Sie dasselbe mathematische Ergebnis in einer automatisierten Pipeline brauchen, ohne Gram-Schmidt selbst neu zu implementieren.

Wo die QR-Faktorisierung in Studium, Wissenschaft und Software hingehört

Auf dieser Seite läuft die Arbeit vollständig in Ihrem Browser; über die API kostet jede erfolgreiche Abfrage $0.002, fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet, und nach der Rückgabe der Antwort wird nichts gespeichert. Diese Trennung — kostenlose interaktive Erkundung und eine tarifierte, identische API — entspricht dem übrigen Katalog der Stufe A und lässt Sie von einer Unterrichtsdemo zu einer automatisierten Pipeline wechseln, ohne das mathematische Ergebnis zu ändern.