Decomposicao QR de uma matriz
Fatore uma matriz real em Q, com colunas ortonormais, e R, triangular superior, pelo processo de Gram-Schmidt: a matriz de linhas 3, 1 e 0, 2 já é triangular, então Q é a identidade e R coincide com ela. Até 20 linhas e 20 colunas. Grátis no seu navegador.
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Esta calculadora de decomposição QR fatora uma matriz real A em um fator ortonormal Q e um fator triangular superior R, de modo que A é igual a Q vezes R, aplicando o processo de Gram-Schmidt às colunas de A. Quando uma coluna é combinação linear das anteriores, o residual após a ortogonalização colapsa e a solicitação é rejeitada com entrada inválida, em vez de inventar um substituto revelador de posto ou um caminho Householder. A aritmética é totalmente determinística: produtos internos, normas euclidianas e atualizações de coluna usam só operações finitas em ponto flutuante, sem chamadas de rede, sem amostragem e sem atalhos que dependam de data.
O que a decomposição QR significa e o que a resposta contém
A fatoração QR de uma matriz real A com m linhas e n colunas, em que m é pelo menos n, escreve A como o produto de uma matriz Q de m por n cujas colunas são ortonormais e uma matriz R triangular superior de n por n. Ortonormal significa que a transposta de Q vezes Q é igual à identidade de ordem n: cada coluna tem comprimento euclidiano um e colunas distintas são ortogonais entre si.
A existência desta fatoração fina com diagonal estritamente positiva em R equivale a que as colunas de A sejam linearmente independentes. Se uma coluna posterior estiver no span das anteriores, Gram-Schmidt produz um residual cuja norma euclidiana é zero e nenhuma coluna unitária bem definida pode ser formada. Esta calculadora aplica o processo de Gram-Schmidt, modificado para estabilidade numérica, às colunas que você fornece, registra os produtos internos sucessivos em R e normaliza cada residual para obter Q.
Onde a fatoração QR se encaixa nos estudos, na ciência e no software
Os estudantes encontram a decomposição QR quando um curso de álgebra linear passa da ortogonalização de Gram-Schmidt para os mínimos quadrados, quando um problema de olimpíada pede Q e R de uma matriz pequena de inteiros, ou quando conferem que a transposta de Q vezes Q é a identidade antes de confiar em um cálculo manual.
Professores podem gerar gabaritos com antecedência para valores modestos de m e n sem depender de aplicativos de calculadora opacos que trocam em silêncio para refletores Householder, invertem sinais de coluna ou descartam uma coluna dependente sem avisar. Desenvolvedores chamam o mesmo contrato a partir de scripts para gerar vetores de teste determinísticos para solucionadores, para ortonormalizar colunas de base digitadas pelo usuário antes de uma demonstração de projeção, ou para atender enunciados de desafios de programação que exigem o par QR de Gram-Schmidt em vez de um esboço.
A prática de engenharia e de dados costuma precisar de uma fatoração rápida e offline de um sistema pequeno de posto completo, para que um residual de mínimos quadrados ou uma mudança de base possa ser conferida sem um pacote completo de álgebra computacional sob pressão de tempo. Ferramentas de produto e de educação usam a fatoração quando um aluno digita uma matriz e a interface precisa mostrar Q ao lado de R com o método nomeado.
Mantenha m e n modestos e os coeficientes dentro de magnitudes habituais de ponto flutuante para que o cancelamento não domine; em inteiros de sala de aula e escalas de engenharia típicas, os fatores são exatos dentro da precisão dupla.
Casos de uso
Lição de casa e conferências de Gram-Schmidt
Fatore matrizes de livro didático em Q e R e verifique que Q tem colunas ortonormais e que A é igual a Q vezes R antes de provas ou aulas de mínimos quadrados.
Solucionadores e software de tutoria
Ortonormalize colunas de base digitadas pelo usuário em um par QR fino para demonstrações de projeção, ajudantes de mínimos quadrados e lições interativas de álgebra linear.
Perguntas frequentes
Como Q e R são calculados?
Por Gram-Schmidt modificado sobre as colunas de A. Cada coluna é ortogonalizada contra as colunas unitárias já aceitas; o comprimento do residual vira uma entrada diagonal positiva de R e o residual é escalado para comprimento unitário para formar a próxima coluna de Q.
O que acontece se as colunas forem linearmente dependentes?
Um residual de comprimento quase nulo significa que uma coluna posterior está no span das anteriores, então um QR fino com diagonal estritamente positiva não existe. Esta ferramenta não descarta colunas nem devolve um substituto revelador de posto.
Isto funciona para matrizes retangulares?
Sim, quando a matriz é alta ou quadrada (pelo menos tantas linhas quanto colunas) e as colunas são linearmente independentes. Uma matriz larga, com mais colunas do que linhas, é rejeitada porque essas colunas não podem ser independentes.
Por que os resultados são arredondados a uma precisão?
A precisão padrão é 10 casas decimais; você pode definir precision de 0 a 15.
Como confiro se uma decomposição QR está certa?
Multiplique Q por R e veja se volta à matriz original. Depois confira se Q transposta vezes Q dá a matriz identidade: isso comprova que as colunas de Q têm comprimento um e são perpendiculares entre si.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"matrix": [
[
1,
1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.qr_decomposition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_rows | 20 |
max_cols | 20 |
max_abs_entry | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Quando as colunas são linearmente independentes, o mecanismo devolve as duas matrizes, a contagem de linhas e de colunas, a etiqueta do método e a precisão de arredondamento usada para um contrato JSON estável.
O que a decomposição QR significa e o que a resposta contém
A resposta devolve Q e R arredondadas na precisão pedida, um eco da matriz de entrada, as dimensões, a etiqueta de método gram_schmidt, a precisão usada e um lembrete curto da fórmula. Não há caminho de refletores Householder, nem de rotações de Givens, nem um fallback revelador de posto: o mecanismo termina com uma fatoração de posto de coluna completo dentro dos limites documentados de tamanho e magnitude, ou rejeita a entrada com invalid_input. Os casos rejeitados incluem matriz ausente, linhas que não são arrays, formas irregulares, mais colunas do que linhas, entradas não finitas, magnitudes acima do teto e qualquer matriz cujas colunas sejam linearmente dependentes. Se você precisa de uma inversa, um determinante, uma contagem de posto ou a solução de A x igual a b, use uma ferramenta dedicada a essa pergunta; esta página responde só ao par QR, com saída numérica estável, adequada para listas de exercícios, testes unitários e consumidores da API que não devem inventar uma fatoração substituta.
Como a matriz é lida e como Q e R permanecem reproduzíveis
O campo preferido é matrix, um array aninhado de linhas de números finitos com a mesma contagem de colunas em cada linha, mas também são aceitos os apelidos a, A e mat, para que planilhas, strings de consulta e formulários tipados reutilizem o mesmo contrato. Sinais de mais à esquerda e notação científica nas strings das entradas são permitidos quando se convertem em decimais finitos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais e tokens não numéricos são rejeitados com uma mensagem clara, para que uma célula ruim não vire um fator errado. A forma deve ser alta ou quadrada: m linhas por n colunas com m pelo menos n, porque mais colunas do que linhas não podem ser linearmente independentes. O cálculo usa Gram-Schmidt modificado: cada coluna de trabalho é ortogonalizada contra as colunas unitárias já aceitas, o comprimento do residual vira a próxima entrada diagonal positiva de R, e o residual é escalado para comprimento unitário. Um campo opcional precision, com os apelidos decimals e dp, escolhe quantas casas decimais expor em cada entrada de Q e de R, com padrão de dez e teto de quinze, para que os goldens em JSON permaneçam estáveis. Um residual cujo comprimento cai abaixo de uma tolerância absoluta e relativa apertada é tratado como dependência linear e falha com invalid_input. Combine a execução gratuita no navegador desta página com a API paga quando precisar do mesmo resultado matemático dentro de um pipeline automatizado, sem reimplementar Gram-Schmidt você mesmo.
Onde a fatoração QR se encaixa nos estudos, na ciência e no software
Nesta página, o trabalho roda inteiramente no seu navegador; pela API, cada consulta bem-sucedida custa US$ 0,002, a validação que falha não é cobrada, e nada fica armazenado depois que a resposta é devolvida. Essa divisão — exploração interativa gratuita e uma API paga e idêntica — segue o restante do catálogo de nível A e permite passar de uma demonstração em sala de aula para um pipeline automatizado sem mudar o resultado matemático.
Casos de integração
Fixtures de teste determinísticos
Gere valores reproduzíveis de Q e R para testes unitários, checagens de propriedades e asserções de integração contínua que não devem depender de uma biblioteca numérica local.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de decomposição QR?
É grátis no seu navegador nesta página. Pela API, uma solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002; entradas inválidas não são cobradas.