Calculadora de MDC de polinômios
Descubra o fator que dois polinômios têm em comum: x² − 3x + 2 e x − 1 têm MDC x − 1, obtido em 1 passo de Euclides e sempre com coeficiente líder 1. Grátis no seu navegador.
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Esta calculadora de MDC de polinômios encontra o máximo divisor comum de dois polinômios informados como arrays densos de coeficientes, com o maior grau primeiro. Ela executa o algoritmo clássico de Euclides: substitui o par pelo segundo polinômio e pelo resto do primeiro módulo o segundo, até que o resto seja zero, e então escala o último resto não nulo para que seu coeficiente líder seja um (um MDC mônico). Fatores lineares compartilhados, conferências de divisão exata e testes de coprimalidade se reduzem todos a esta única operação primitiva. Alguns exemplos que você já deve conhecer: x² − 3x + 2 e x − 1 compartilham o fator x − 1, e x² − 1 com x − 1 também resulta em x − 1. O mecanismo usa apenas aritmética determinística em ponto flutuante sobre vetores de coeficientes: sem chamadas de rede, sem amostragem e sem atalhos que dependam de data.
O que o MDC de polinômios retorna e como funciona a normalização mônica
O máximo divisor comum de dois polinômios é o polinômio de maior grau que divide ambos, único a menos de um escalar diferente de zero no corpo de coeficientes. Esta calculadora retorna um representante mônico: depois que o laço de Euclides termina, cada coeficiente é dividido pelo coeficiente líder, então a resposta sempre começa com um quando o MDC é diferente de zero.
As entradas e saídas usam arrays densos de coeficientes, com o maior grau primeiro; por exemplo, 1, −3, 2 significa x² − 3x + 2, e 1, −1 significa x − 1.
A resposta ecoa as entradas normalizadas depois de remover zeros à esquerda, retorna o array gcd mônico arredondado na precisão solicitada, informa os graus das duas entradas e do MDC, define um sinalizador coprime quando o MDC mônico é a constante um, monta strings legíveis como x^2 - 3x + 2 para listas de exercícios e interfaces, e registra quantos passos de resto o algoritmo de Euclides executou.
Se exatamente uma entrada é zero, retorna-se a forma mônica da outra, seguindo a convenção usual de que o MDC de f e zero é um múltiplo unitário de f. Não existe um caminho simbólico tipo CAS nem sorteio aleatório de raízes: o mecanismo termina as reduções de Euclides dentro dos limites suportados de grau e magnitude, ou rejeita a entrada.
Como os coeficientes são lidos e como o laço de Euclides permanece reproduzível
Coeficientes em string que se convertem em decimais finitos, incluindo notação científica opcional, são permitidos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais e tokens não numéricos são rejeitados com uma mensagem clara, para que uma célula ruim não vire um divisor errado. Coeficientes zero à esquerda são removidos antes da redução, para que 0, 1, 2 e 1, 2 representem o mesmo polinômio linear.
Cada passo de Euclides calcula o resto do dividendo atual módulo o divisor atual, por divisão longa de vetores de coeficientes, e então troca: o divisor antigo vira o novo dividendo, e o resto vira o novo divisor, exatamente como no MDC de inteiros. Um pequeno épsilon remove termos líderes quase zero, para que o ruído de ponto flutuante não invente restos falsos de grau alto.
Quando o laço termina, a escala mônica força o coeficiente líder a ser um, o que torna goldens e caches independentes de múltiplos escalares arbitrários que a álgebra permite.
Onde o MDC de polinômios se encaixa nos estudos, no código e no ensino
Os estudantes encontram o MDC de polinômios quando um livro-texto introduz o algoritmo de Euclides sobre o anel de polinômios, quando cancelam fatores comuns em uma expressão racional, ou quando conferem se dois cúbicos compartilham um fator linear antes de aplicar frações parciais. Professores podem gerar gabaritos para graus modestos sem depender de aplicativos de calculadora opacos que escondem restos intermediários ou reescalam silenciosamente por conteúdos não mônicos.
Desenvolvedores chamam o mesmo contrato a partir de scripts para gerar vetores de teste determinísticos para módulos de álgebra computacional, para simplificar razões de polinômios digitados pelo usuário, ou para atender enunciados de desafios de programação que exigem um array de coeficientes do MDC mônico, em vez de uma lista de fatores improvisada. A prática para olimpíadas costuma precisar de uma fonte rápida e offline de resultados de MDC de polinômios, para que as soluções possam ser conferidas sem calculadoras gráficas sob pressão de tempo.
Casos de uso
Lição de casa e verificação de fatores comuns
Encontre MDCs mônicos de polinômios para exercícios de livro-texto sobre o algoritmo de Euclides, e cancele fatores comuns em expressões racionais.
Tutoria e interfaces de CAS
Normalize dois polinômios digitados pelo usuário em um MDC mônico com os graus, o sinalizador coprime e strings de polinômio legíveis para as aulas.
Perguntas frequentes
Como o MDC é definido?
É um polinômio mônico de maior grau que divide as duas entradas, obtido pelo algoritmo de Euclides (restos polinomiais sucessivos) e pela normalização do coeficiente líder.
Como devo codificar os polinômios?
Envie arrays densos de coeficientes com o maior grau primeiro, por exemplo [1, -3, 2] para x² − 3x + 2 e [1, -1] para x − 1.
O que significa o sinalizador coprime?
Quando o MDC mônico é a constante 1, os polinômios não compartilham nenhum fator de raiz comum de grau positivo, e coprime é true.
E se um dos polinômios for zero?
Você recebe o outro polinômio, ajustado para ter coeficiente líder 1, porque todo polinômio divide o zero. Se os dois forem zero, o cálculo é recusado, já que o MDC não está definido.
O que significa dois polinômios serem primos entre si?
Significa que o único divisor comum é uma constante, ou seja, o MDC normalizado é 1. Nesse caso o resultado avisa que eles não compartilham nenhum fator.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_gcd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_degree | 64 |
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que o MDC de polinômios retorna e como funciona a normalização mônica
O grau de um polinômio diferente de zero é um a menos que o comprimento do seu array de coeficientes aparado; o polinômio zero é reportado com grau zero e o único coeficiente zero, para que os consumidores de JSON nunca precisem de arrays vazios. Ter os dois polinômios zero é rejeitado com invalid_input, porque o MDC de zero e zero é indefinido neste contrato. Se você precisa da divisão longa completa com quociente e resto expostos, fatoração em irredutíveis, ou MDC de números inteiros em vez de polinômios, use as ferramentas dedicadas a isso; esta página resolve apenas o MDC mônico de polinômios via restos de Euclides, com coeficientes numéricos estáveis, adequados para testes unitários e consumidores de API.
Como os coeficientes são lidos e como o laço de Euclides permanece reproduzível
Os campos preferidos são a e b, cada um um array não vazio de números finitos, do maior grau até o termo constante. Os apelidos p, poly1, f e first para o primeiro polinômio, e q, poly2, g e second para o segundo, são aceitos, de modo que planilhas, strings de consulta e formulários tipados possam reutilizar o mesmo contrato. Um campo opcional precision, com os apelidos decimals e dp, escolhe quantas casas decimais expor em cada coeficiente da resposta, com padrão de dez e teto de quinze, para que os goldens em JSON permaneçam estáveis entre execuções. Combine a execução gratuita no navegador desta página com a API paga quando precisar do mesmo resultado matemático dentro de um pipeline automatizado.
Onde o MDC de polinômios se encaixa nos estudos, no código e no ensino
Produtos de educação usam essa reescrita quando um aluno digita duas listas de coeficientes e a interface precisa mostrar a_poly, b_poly e gcd_poly, junto com o sinalizador coprime e a contagem de passos de Euclides. Nesta página, o trabalho roda inteiramente no seu navegador; pela API, cada consulta bem-sucedida custa US$ 0,002, a validação que falha não é cobrada, e nada fica armazenado depois que a resposta é devolvida. Essa divisão — exploração interativa gratuita e uma API paga e idêntica — segue o restante do catálogo tier A do KIT e permite passar de uma demonstração em sala de aula para um pipeline automatizado sem mudar o resultado matemático. Combine-a com a divisão longa de polinômios quando precisar também de quocientes, com ferramentas de coprimalidade de inteiros quando os objetos forem números em vez de polinômios, e com outros endpoints de álgebra quando estiver montando um pequeno laboratório de ferramentas grátis e determinísticas para lição de casa e testes de software.
Casos de integração
Fixtures de teste determinísticas
Gere arrays de coeficientes do MDC mônico e strings de polinômio reproduzíveis, para testes unitários, verificações de propriedades e asserções de CI.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de MDC de polinômios?
É grátis no navegador, nesta página. Pela API, cada solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002; entradas inválidas não são cobradas.
O que acontece se os dois polinômios forem zero?
A entrada é rejeitada com invalid_input. gcd(0, 0) é indefinido neste contrato.