تفكيك QR لمصفوفة
حلّل مصفوفة حقيقية إلى Q ذات أعمدة متعامدة معيّرة وR مثلثية عليا بطريقة غرام-شميت: المصفوفة ذات الصفين 3، 1 و0، 2 مثلثية أصلًا، فتكون Q مصفوفة الوحدة وR مطابقة لها. حتى 20 صفًا و20 عمودًا. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تحلّل حاسبة التحليل QR هذه مصفوفة حقيقية A إلى عامل متعامد معياري Q وعامل مثلثي علوي R بحيث تساوي A حاصل ضرب Q في R، وذلك بتطبيق عملية غرام-شميت على أعمدة A. وحين يكون عمودٌ تركيبًا خطيًا للأعمدة السابقة ينهار المتبقي بعد التعامد ويُرفَض الطلب لإدخال غير صالح بدل اختراع بديل كاشف للرتبة أو مسار هاوسهولدر. الحساب حتمي تمامًا: الضرب الداخلي والمعايير الإقليدية وتحديثات الأعمدة تستخدم عمليات عشرية منتهية فقط، بلا اتصال بالشبكة ولا عيّنات ولا اختصارات مرتبطة بالتاريخ.
ماذا يعني التحليل QR وما الذي يحتويه الرد
يكتب تحليل QR لمصفوفة حقيقية A ذات m صفوف وn أعمدة، حيث m لا يقل عن n، المصفوفة A حاصل ضرب مصفوفة Q ذات m صفوف وn أعمدة أعمدتها متعامدة معياريًا ومصفوفة R مثلثية عليا ذات ترتيب n. التعامد المعياري يعني أن منقولة Q مضروبة في Q تساوي مصفوفة الوحدة من الرتبة n: لكل عمود طول إقليدي واحد والأعمدة المتمايزة متعامدة زوجًا زوجًا. وجود هذا التحليل النحيل بقطر موجب قطعًا على R يكافئ استقلال أعمدة A خطيًا.
إن وقع عمود لاحق في فضاء الأعمدة السابقة، أنتج غرام-شميت متبقيًا معياره الإقليدي صفر ولا يمكن تكوين عمود وحدوي معرَّف جيدًا. تطبّق هذه الحاسبة عملية غرام-شميت، المعدَّلة للاستقرار العددي، على الأعمدة التي تقدّمها، وتسجّل الضروب الداخلية المتتالية في R، وتُعاير كل متبقٍ للحصول على Q. تشمل حالات الرفض غياب المصفوفة، وصفوفًا ليست مصفوفات، وأشكالًا غير منتظمة، وأعمدة أكثر من الصفوف، ومدخلات غير منتهية، ومقادير فوق السقف، وأي مصفوفة أعمدتها تابعة خطيًا.
أين يناسب التحليل QR الدراسة والعلوم والبرمجيات
يلتقي الطلاب بتحليل QR حين ينتقل مقرر الجبر الخطي من تعامد غرام-شميت إلى المربعات الصغرى، أو حين تطلب مسألة مسابقة Q وR لمصفوفة صحيحة صغيرة، أو حين يتحققون أن منقولة Q مضروبة في Q تساوي مصفوفة الوحدة قبل الوثوق بحساب يدوي. يستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابات مسبقًا لأبعاد m وn معتدلة دون الاعتماد على تطبيقات حاسبة مبهمة تنتقل بصمت إلى عواكس هاوسهولدر أو تقلب إشارات الأعمدة أو تسقط عمودًا تابعًا دون إعلان.
يستدعي المطوّرون العقد نفسه من سكربتاتهم لتوليد متجهات اختبار حتمية للحلّالات، أو لتعامد معياري لأعمدة أساس يُدخلها المستخدم قبل عرض إسقاط، أو لتلبية متطلبات تحديات برمجية تطلب زوج QR لغرام-شميت بدل رسم تقريبي. غالبًا ما تحتاج الممارسة الهندسية وممارسة البيانات تحليلًا سريعًا وغير متصل لنظام صغير كامل الرتبة حتى يمكن التحقق من متبقٍ للمربعات الصغرى أو من تبديل أساس دون رزمة جبر حاسوبي كاملة تحت ضغط الوقت. تستخدم أدوات المنتجات والتعليم التحليل حين يكتب المتعلم مصفوفة وتحتاج الواجهة إلى إظهار Q بجانب R مع تسمية الطريقة.
أبقِ m وn معتدلين والمعاملات ضمن مقادير عائمة معتادة حتى لا يهيمن الإلغاء؛ ولأعداد الصف الصحيحة ومقاييس الهندسة المعتادة تكون العوامل دقيقة ضمن الدقة المزدوجة.
حالات الاستخدام
الواجب المدرسي وتحقّقات غرام-شميت
حلّل مصفوفات الكتاب إلى Q وR وتحقق أن لـ Q أعمدة متعامدة معياريًا وأن A تساوي حاصل ضرب Q في R قبل الامتحانات أو دروس المربعات الصغرى.
بيانات اختبار حتمية
ولّد قيمًا قابلة لإعادة الإنتاج لـ Q وR لاختبارات الوحدات وفحوص الخصائص وتأكيدات التكامل المستمر التي يجب ألا تعتمد على مكتبة عددية محلية.
حلّالات وبرمجيات التدريس
عاير معياريًا أعمدة أساس يُدخلها المستخدم إلى زوج QR نحيل لعروض الإسقاط ومساعدات المربعات الصغرى ودروس الجبر الخطي التفاعلية.
الأسئلة الشائعة
كيف يُحسب Q وR؟
بغرام-شميت المعدَّل على أعمدة A. يُعامَد كل عمود على الأعمدة الوحدوية المقبولة أصلًا؛ ويصبح طول المتبقي مدخلًا قطريًا موجبًا في R ويُحوَّل المتبقي إلى طول وحدوي لتكوين العمود التالي من Q.
ماذا يحدث إن كانت الأعمدة تابعة خطيًا؟
متبقٍ شبه صفري الطول يعني أن عمودًا لاحقًا يقع في فضاء الأعمدة السابقة، فلا يوجد QR نحيل بقطر موجب قطعًا. لا تُسقط هذه الأداة أعمدة ولا تُرجع بديلًا كاشفًا للرتبة.
هل تعمل مع المصفوفات المستطيلة؟
نعم، حين تكون المصفوفة طويلة أو مربعة (صفوف لا تقل عن الأعمدة) والأعمدة مستقلة خطيًا. تُرفَض المصفوفة العريضة ذات أعمدة أكثر من الصفوف لأن تلك الأعمدة لا يمكن أن تكون مستقلة.
لماذا تُقرَّب النتائج إلى دقة معيّنة؟
الدقة الافتراضية 10 خانات عشرية؛ ويمكنك ضبط precision من 0 إلى 15.
كيف أتحقق من صحة تحليل QR؟
اضرب Q في R وتأكد أنك تعود إلى المصفوفة الأصلية. ثم تحقق من أن منقول Q مضروبًا في Q يعطي مصفوفة الوحدة، فهذا يثبت أن أعمدة Q طولها واحد ومتعامدة فيما بينها.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,1],[1,0],[0,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/qr-decomposition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
1,
1
],
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.qr_decomposition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_rows | 20 |
max_cols | 20 |
max_abs_entry | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
حين تكون الأعمدة مستقلة خطيًا يُرجع المحرك المصفوفتين معًا وعدد الصفوف والأعمدة ووسم الطريقة ودقة التقريب المستخدمة لعقد JSON مستقر. استخدمها مجانًا في المتصفح لواجب الجبر الخطي وترتيبات المربعات الصغرى وبيانات مسابقات البرمجة، أو استدعِ واجهة API بسعر $0.002 لكل طلب ناجح حين تحتاج زوج QR قابلًا لإعادة الإنتاج في التكامل المستمر أو برمجيات التدريس أو العروض التعليمية.
ماذا يعني التحليل QR وما الذي يحتويه الرد
يُرجع الرد Q وR مقرَّبتين إلى الدقة المطلوبة، وصدى مصفوفة الإدخال، والأبعاد، ووسم الطريقة gram_schmidt، والدقة المستخدمة، وتذكيرًا موجزًا بالصيغة. لا يوجد مسار عواكس هاوسهولدر، ولا مسار دورانات غيفنز، ولا احتياط كاشف للرتبة: فإما ينهي المحرك تحليلًا كامل رتبة الأعمدة ضمن حدود الحجم والمقدار الموثَّقة، أو يرفض الإدخال برسالة invalid_input. إن احتجت إلى معكوس أو محدِّد أو عدّ رتبة أو حل A x يساوي b، فاستخدم أداة مخصَّصة لذلك السؤال؛ هذه الصفحة تجيب فقط عن زوج QR بمخرجات عددية ثابتة تناسب أوراق التمارين واختبارات الوحدات ومستهلكي API الذين لا يجوز لهم اختراع تحليل بديل.
كيف تُقرأ المصفوفة وكيف يبقيان Q وR قابلين لإعادة الإنتاج
تُقبَل إشارات الجمع البادئة الاختيارية والترميز العلمي في نصوص الخانات ما دامت تُقرأ كأعداد عشرية منتهية؛ أما المسافات المضمَّنة وبادئات الست عشري والرموز غير الرقمية فتُرفض برسالة واضحة حتى لا تتحول خانة خاطئة إلى عامل خاطئ. يجب أن يكون الشكل طويلًا أو مربعًا: m صفوف في n أعمدة مع m لا يقل عن n، لأن زيادة الأعمدة على الصفوف تمنع الاستقلال الخطي. يستخدم الحساب غرام-شميت المعدَّل: يُعامَد كل عمود عمل على الأعمدة الوحدوية المقبولة أصلًا، ويصبح طول المتبقي المدخل القطري الموجب التالي في R، ويُحوَّل المتبقي إلى طول وحدوي. الحقل المفضَّل هو matrix، مصفوفة متداخلة من صفوف أعداد منتهية بعدد أعمدة واحد في كل صف، لكن تُقبَل الأسماء البديلة a وA وmat حتى تعيد جداول البيانات وسلاسل الاستعلام والنماذج المكتوبة استخدام العقد نفسه. يختار حقل الدقة الاختياري precision، وله الاسمان البديلان decimals وdp، عدد الخانات العشرية المعروضة لكل مدخل من Q وR، وقيمته الافتراضية عشرة والحد الأقصى خمسة عشر حفاظًا على ثبات ملفات JSON المرجعية. يُعامل المتبقي الذي يهبط طوله دون تسامح مطلق ونسبي صارم على أنه تبعية خطية ويفشل بـinvalid_input. اجمع بين التشغيل المجاني في المتصفح على هذه الصفحة وواجهة API المدفوعة حين تحتاج النتيجة الرياضية ذاتها داخل خط أنابيب آلي دون إعادة تنفيذ غرام-شميت بنفسك.
أين يناسب التحليل QR الدراسة والعلوم والبرمجيات
يعمل هذا كله داخل متصفحك مجانًا على هذه الصفحة؛ ومن خلال API يكلف كل استعلام ناجح $0.002، ولا يُحتسَب التحقق الفاشل، ولا يُحفَظ شيء بعد إرجاع الرد. هذا الفصل بين الاستكشاف التفاعلي المجاني وواجهة API المدفوعة المطابقة يوافق بقية كتالوج الفئة A، ويتيح الانتقال من عرض في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.
أسئلة تقنية
كم تبلغ تكلفة حاسبة التحليل QR؟
مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. عبر API يكلف الطلب الناجح $0.002؛ ولا تُحتسَب المدخلات غير الصالحة.