多項式の除法計算機
多項式を別の多項式で割り、商と余りを求めます。x² − 3x + 2をx − 1で割ると、商はx − 2、余りは0です。除数はx − rの形に限らず、どんな次数でも使えます。ブラウザで無料で使えます。
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処理はブラウザ内で完結します。ファイルは送信されません。無料でご利用いただけます。
多項式の除法は一変数多項式に対するユークリッドの互除法です。被除数 p(x) と非零の除数 d(x) が与えられると、一意な多項式 q(x) と r(x) が存在し、p は d と q の積に r を加えたものに等しく、r はゼロ多項式であるか、r の次数が d の次数より真に小さくなります。学習者は、x の二乗から三 x を引き二を足した式を x から一を引いた式で初めて割って、一次の商 x マイナス二を得るときにこの恒等式に出会います。技術者は因子の打ち消し、伝達関数の次数下げ、あとで評価するための余りの計算に用います。この多項式除法計算機は、両方の多項式を次数の高い順の密な係数配列として受け取り、ゼロ多項式を除数として拒否し、商と余りの配列に次数と短い多項式文字列を添えて返します。
多項式の除法の意味と、商と余りが現れる仕組み
一変数多項式の除法は、整数の筆算除法とまったく同じ対応です。整数では 17 を 5 で割ると商 3・余り 2 となり、17 は 5 かける 3 たす 2 に等しく、余りは除数より小さくなります。多項式でも同じユークリッドの主張が成り立ちます。
被除数 p(x) と非零の除数 d(x) に対し、一意な組 q(x) と r(x) があり、p(x) は d(x) かける q(x) たす r(x) に等しく、r は恒等的に零であるか、r の次数は d の次数より真に小さいです。同じ係数配列は常に同じ商と余りを返し、計算機代数のヒューリスティックで分岐しません。
検索意図は「多項式 割り算」「二つの多項式を割る」「多項式の商と余り」「多項式のユークリッド互除法」といった語句に集まります。授業の問題は通常、最高次を先頭にしたリストを送ります。たとえば一、マイナス三、二は x の二乗から三 x を引き二を足した式、一、マイナス一は x マイナス一を表し、一次の商一、マイナス二と余り零を期待します。
制御や信号処理のノートは、極と零点の打ち消しや、余りを評価する前に分子の次数を下げるために同じ恒等式を使います。組立除法は x マイナス r の形のモニック一次因子だけを扱いますが、本除法は二次以上を含む任意の正の次数の除数を受け付けるため、分母が単純な一次因子でないときの一般的な道具です。
入力契約、係数の並び、検証、応答の形
各配列は有限係数の密な列で、次数の高い順です。先頭が最高次の係数、末尾が定数項です。先頭の零は次数を求める前に取り除くため、零、零、一、マイナス三、二は同じ二次式として扱われます。
通常の十進数として解釈できる数値文字列も受け付けるので、フォーム送信や表計算の書き出しが扱いやすくなります。トリム後に除数の係数がすべて零なら、多項式環では零除算が未定義であるため、除数をゼロ多項式にしてはならないというメッセージで拒否されます。絶対値が宣言された上限を超える係数や、次数が宣言された最大を超える配列も拒否されます。
成功時は、トリム済みの被除数と除数をエコーし、指定精度（既定は小数十桁）に丸めた最高次先頭の商・余りの配列を返し、四つの公開次数を報告し、余りがゼロ多項式のとき exact を true にし、短い多項式文字列と恒等式を含めます。被除数の次数がすでに除数より小さいときは、商はゼロ多項式、余りは被除数そのものです。検証失敗は課金されません。
多項式の割り算が役立つ場面と扱わないこと
教室や個別指導の基盤では、学習者が任意の係数リストについて商と余りの両方を、筆算の桁を手で揃えて符号を落とすことなく確かめられるよう、多項式除法計算機を使います。試験問題の生成や LMS の自動採点には、零の除数を黙って商にすり替えるのではなく拒否し、採点器が要素ごとに比較できる配列を返す決定的なオラクルが必要です。
工学ノートは有理式の簡単化、別途の GCD のあとの共通因子の打ち消し、一次因子で割ってから剰余の定理を適用する、といった作業を行います。不正な入力は残高を消費しません。制限は意図的です。 一変数の密な除法のみであり、多変数の除法でも既約分解でも根の探索でもありません。
二つの多項式の最大公約式、一つの多項式の根、x マイナス r による組立除法が必要なら、この契約を無理に伸ばさず、それぞれの専用能力を選んでください。
活用例
授業と宿題での多項式除法の確認
最高次を先頭にした二つの係数配列を提出させ、教科書の筆算除法と商・余りを、割り切れる場合も割り切れない場合も照合します。
試験と LMS の自動採点
ゼロ多項式を除数として拒否し、余りの余分な項を決して作らない決定的なオラクルで、多項式除法の設問を採点します。
ノートと有理関数の簡単化
制御や信号のスクリプトで、本格的な計算機代数ライブラリを取り込まずに、密な一変数多項式を打ち消したり簡単化したりします。
よくある質問
この計算機で二つの多項式を割るにはどうすればよいですか？
例: [1, -3, 2] を [1, -1] で割ると商 [1, -2]、余り [0] となり、(x² − 3x + 2) / (x − 1) = x − 2 です。
除数がゼロ多項式だとどうなりますか？
ゼロ多項式による除算は未定義なので、要求は拒否され、課金されません。
係数はどの順で送ればよいですか？
次数の高い順です。 先頭の数が最高次の係数、末尾が定数項です。先頭の零は次数を求める前に取り除かれます。
余りが零になるのはいつですか？
除数が被除数をちょうど割り切るときです。そのとき応答は exact を true、remainder を [0] にします。そうでなければ deg(remainder) は deg(divisor) より真に小さくなります。
組立除法とはどう違いますか？
組立除法は、除数がx − rの形の1次式のときにしか使えません。ここでは除数に2次以上を含むどんな正の次数の多項式も使えるため、分母が1つの1次式でない場合にも対応できます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polynomial_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_degree | 64 |
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
多項式の除法の意味と、商と余りが現れる仕組み
この一意性があるから API 契約が可能になります。このエンドポイントはその一般アルゴリズムを実装し、密な係数配列と短い表示用文字列の両方を報告するので、人も機械も同じ答えを読めます。
入力契約、係数の並び、検証、応答の形
必須の配列 dividend と divisor を含む JSON 本体を送信してください。例として、dividend に一、マイナス三、二、divisor に一、マイナス一を送ると、x の二乗から三 x を引き二を足した式を x マイナス一で割ります。空配列、欠落フィールド、配列でない値、Infinity、NaN は、フィールド名付きの invalid_input で失敗します。被除数には num、numerator、p、除数には den、denominator、d、by といった任意の別名も受け付けるため、授業用テンプレートを書き直す必要はありません。
多項式除法 API が役立つ場面と、扱わないこと
小さな parse API を呼べば、密な配列の対のために本格的な計算機代数システムを引き込む必要がありません。実装は純粋な parse のティア A であるため、成功した呼び出しは公開の基本料金 $0.002 で、モデルのトークンも外向きの通信もありません。代数ドリル、伝達関数の簡単化、コンテストの自動採点、正確な数値配列を固定する継続的インテグレーションのフィクスチャにエンドポイントをつないでください。次数と大きさの公開上限内にリクエストを収め、丸めた係数をテストに固定すれば、独自の記号計算基盤を立てずに再現可能な商と余りの対が得られます。
技術的な質問
多項式の除法計算機の料金はいくらですか。
ブラウザの用具は無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに KIT の前払い残高から $0.002 です。不正な入力は課金されません。