複素数の除算
(3 + 4i)を(1 + 2i)で割ると2.2 − 0.4iです。2つの数の実部と虚部を入力すると、除数の共役を使って商の実部と虚部を求めます。除数が0の場合は計算しません。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- 実部1
- 3
- 虚部1
- 4
- 実部2
- 1
- 虚部2
- 2
- 複素数1
- 3+4i
- 複素数2
- 1+2i
- 商の実部
- 2.2
- 商の虚部
- -0.4
一つの複素数を別の複素数で割る操作は、直交形式の (a プラス b i) を (c プラス d i) で割ることです。代数的には被除数に除数の共役を掛け、除数の絶対値の二乗で割ります。商の実部は (a c プラス b d) を (c の二乗プラス d の二乗) で割った値、虚部は (b c マイナス a d) を (c の二乗プラス d の二乗) で割った値です。学習者は複素分数の簡単化、極形式から直交成分への戻し、数式処理なしの宿題確認でこの恒等式を使います。工学ではインピーダンス比、伝達関数、フェーザの商に同じ式を適用します。本計算機は両数の実部と虚部を受け取り、零除数を拒否し、商の実部と虚部および短い表示文字列を返します。
複素数の除算が代数と幾何で意味すること
複素数は実部を横軸・虚部を縦軸とする平面上の点です。z1 を z2 で割ることは z2 の逆数を掛けることであり、幾何的には長さを z2 の絶対値の逆数でスケールし、z2 の偏角の符号を反転して回転します。直交座標ではその極形式変換は不要です。
被除数を a プラス b i、除数を c プラス d i と書きます。除数の逆数は共役 c マイナス d i を c の二乗プラス d の二乗で割ったもので、数とその共役の積は絶対値の二乗になるからです。
被除数にその逆数を掛けると、分子が (a c プラス b d) プラス (b c マイナス a d) i、分母が c の二乗プラス d の二乗の一つの分数になります。したがって商の実部は (a c プラス b d) を (c の二乗プラス d の二乗) で割った値、虚部は (b c マイナス a d) を (c の二乗プラス d の二乗) で割った値です。
除数が零複素数、つまり c と d がともに 0 のとき分母の絶対値の二乗が消えるため除算は未定義です。除数が純実数なら式は各部を c で割る通常の除算に縮約します。純虚数なら商は d の絶対値の逆数でスケールした九十度回転です。
定番確認: 3 プラス 4 i を 1 プラス 2 i で割ると 2.2 マイナス 0.4 i です。別確認: 1 プラス i を 1 マイナス i で割ると i です。商が分かったあと極対が必要なら絶対値または偏角の計算機と組み合わせてください。
複素数の割り算が役立つ場面
教室や個別指導では、共役を手で展開するときの符号ミスなく (a+bi)/(c+di) を確認するために複素数除算計算機を使います。試験生成や LMS プラグインには、零除数を拒否し安定して丸めた成分を返し、分母が消えたときに商を決して作らない決定的オラクルが必要です。
電気工学ノートでは、フル CAS が過剰なときインピーダンス比・電圧対電流フェーザ・伝達関数サンプルを一回の直交除算に縮約します。信号処理や制御のスクリプトは、重い数値ライブラリをエッジに立てず同じ恒等式を複素ゲインや残差に適用します。「零除算を含む検証失敗は残高を消費しません。
活用例
教室と宿題の確認
学習者に (a+bi)/(c+di) の実部と虚部を送らせ、教科書の共役法と商を照合させます。
工学ノートとフェーザ
フルの数式処理ライブラリを引かず、直交形式のインピーダンス比や電圧対電流フェーザを計算します。
よくある質問
除数が零のときはどうなりますか？
零複素数 0+0i での除算は未定義で、検証失敗は課金されません。
この計算機は極形式（絶対値と偏角）を返しますか？
いいえ。 本機能が返すのは直交商だけです。結果の極座標が必要なら複素絶対値または偏角のツールを使ってください。
(3 + 4i)÷(1 + 2i)はいくつですか？
答えは2.2 − 0.4iです。除数の絶対値の2乗は1² + 2²で5になり、実部は(3·1 + 4·2)÷5、虚部は(4·1 − 3·2)÷5で求められます。
除数の共役を掛けるのはなぜですか？
複素数にその共役を掛けると絶対値の2乗、つまり実数になるからです。分母から虚数が消えるので、商を実部と虚部にきれいに分けられます。
除数が実数や純虚数のときはどうなりますか？
実数なら、割られる数の実部と虚部をそれぞれその数で割るだけです。純虚数なら、商は直角の回転に、虚部の絶対値分の1の倍率を掛けたものになります。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.divide_complex_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
複素数の除算が代数と幾何で意味すること
本エンドポイントは直交成分だけを返し、極形式の大きさや偏角は出しません。
入力契約・応答形・検証のふるまい
POST で JSON 本体に必須の有限数を四つ送ります。real1 と imag1 が被除数 z1、real2 と imag2 が除数 z2 です。各フィールドは JSON 数値でも数値文字列でもよく、ハンドラは real1 の re1・a1・a、imag1 の im1・b1・b、教科書の (a+bi)/(c+di) に対応する re2・a2・c・im2・b2・d といった別名も受け付けます。非有限値・欠落・空文字・非数値テキストはフィールド名付きの invalid_input で失敗し、課金されません。実部と虚部がともに 0 の除数も invalid_input になり、零複素数での除算は未定義だからです。成功時は real1・imag1・real2・imag2 を十二桁安定丸めで返し、3+4i や 1−2i のような短い complex1・complex2 表示、z1 割る z2 の直交成分 quotient_real・quotient_imag、その結果の quotient 表示、共役公式の分母である real2 の二乗プラス imag2 の二乗の divisor_squared_modulus、(a+bi)/(c+di) が ((ac+bd)+(bc−ad)i)/(c²+d²) であるという formula を含めます。定番確認: real1=3・imag1=4・real2=1・imag2=2 なら商の実部 2.2・虚部 −0.4、除数の絶対値の二乗は 5 です。主答は二つの商フィールドを使い、表示文字列はワークシートやログ向けの便宜です。
複素除算 API が役立つ場面
実装は parse の tier A のため、成功呼び出しは公開の基本料金 $0.002 のみで、モデルトークンも外向き通信もありません。要求を小さく保ち、丸めた quotient_real と quotient_imag をテストに固定すれば、宿題・LMS・エッジワーカー向けに再現可能な直交商を、自前の数式処理基盤なしで得られます。
連携の活用例
試験と LMS の自動採点
quotient_real と quotient_imag を返し零除数を拒否する決定的オラクルで複素除算問題を採点します。
技術的な質問
直交形式の複素数をどう割りますか。
被除数に有限数 real1 と imag1、除数に real2 と imag2 を送ってください。API は除数の共役を掛け、quotient_real = (ac+bd)/(c²+d²) と quotient_imag = (bc−ad)/(c²+d²) を返します。
real1 と imag1 の代わりに教科書の a, b, c, d を送れますか。
はい。ハンドラは被除数の別名 a と b、除数の c と d、さらに re1・im1・re2・im2 を受け付けます。応答の正規名は real1、imag1、real2、imag2 のままです。
複素数の除算計算機の料金はいくらですか。
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功呼び出しあたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、零除数を含む無効入力は課金されません。