ForHosting KIT · 数学

複素数の掛け算

Q: 極形式やド・モアブルの定理を使いますか？

使いません。 本計算機は四回の乗算と二回の加算で直交形式のままです。極変換と整数べきは別ツールです。

2つの複素数を直交形式で掛け算します。(1 + 2i)(3 + 4i)は−5 + 10iで、iの2乗を−1とする(ac − bd) + (ad + bc)iの式を使います。各因数の実部と虚部を入力し、ブラウザで無料で使えます。

無料
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登録不要
データは端末の外に出ません

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

A の実部: 1
A の虚部: 2
B の実部: 3
B の虚部: 4

結果

積の実部: -5
積の虚部: 10
A の直交形式: 1+2i
B の直交形式: 3+4i

二つの複素数を掛けることは、宿題・電気工学のフェーザ・信号処理ノートで現れる代数の中核技能です。z1 = a + bi と z2 = c + di があれば、直交積は (ac − bd) + (ad + bc)i です。FOIL で展開し i の二乗をマイナス一に置き換えることがアルゴリズム全体で、実数の四回の乗算と二回の加算、i 二乗項による実部の符号反転です。本複素数掛け算計算機は両因子の実部と虚部を有限数として受け取り、その恒等式を決定的に適用し、学習者・指導者・自動化スクリプトが各 FOIL 段階を検証できるよう直交積を返します。

FOIL・i の二乗・直交積の恒等式

二つの複素数は実数上の二項と同じ分配法則で掛け合わされ、追加の恒等式として i の二乗がマイナス一になります。因子を a プラス b i と c プラス d i と書いてください。FOIL 展開は四つの実数積を生みます。

a かける c、a かける d i、b i かける c、b i かける d i です。最後の項は i の二乗を含み、マイナス一に置き換わるので b d i 二乗はマイナス b d となり実軸に落ちます。同類項をまとめると閉じた直交公式 (a c マイナス b d) プラス (a d プラス b c) i が得られます。

その恒等式が本計算機のアルゴリズム全体で、四回の乗算と二回の加算、i 二乗項による実部の符号反転です。極形式への変換も偏角もド・モアブル回転もなく、それらは複素べき乗や直交から極への変換ツールの領域です。二つの直交数の乗算は平面内の拡大回転のままですが、積を求めるのに極形式の中間値は不要です。

一方が実数で虚部が零なら、公式は他方の両成分の単なる倍率に縮みます。因子が共役の a プラス b i と a マイナス b i なら虚の交差項は相殺し、積は実数 a 二乗プラス b 二乗、すなわち絶対値の二乗です。零に何を掛けても零です。

負の成分は同等で、符号は紙の上と同じく四つの積を伝わります。本機能は直交因子と直交積を返すため、授業デモは FOIL 展開と最終の a プラス b i 文字列の両方を、ac マイナス bd を手計算し直さずに固定できます。

複素数掛け算計算機が役立つ場面

教室や指導プラットフォームは複素数掛け算計算機を使い、学習者が最後の項を実数にする i 二乗の符号を落とさずに FOIL 宿題を確認できるようにします。試験準備ジェネレータは、非有限成分を黙った NaN として誤採点器が積と認めるのではなく、硬い失敗として扱う決定的オラクルを必要とします。

コンピュータグラフィックスと信号処理のスクリプトは a プラス b i を二次元の相似（拡大と回転）とみなし、二つを掛けて変換を合成します。検証失敗は残高を消費しません。要求を小さく保ち、丸めた直交成分をテストに固定すれば、宿題・LMS プラグイン・エッジワーカー向けに再現可能な積が得られ、独自の数式処理基盤を立てる必要はありません。

本ページは二因子の積という検索に答え、ド・モアブル整数べきツールでも直交から極への変換器でもありません。それら近傍と検索意図が異なるからこそ、汎用複素ツールボックスの一モードではなく独立した計算機として存在します。

活用例

フェーザと変換のノート

数式処理ライブラリ一式を取り込まず、スクリプト内で直交フェーザや二次元相似を掛け合わせます。

よくある質問

(a+bi)(c+di) の公式は何ですか？

FOIL で展開し i² を −1 に置き換えます。(a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i。formula 欄は成功のたびにその恒等式を再掲します。

一部が欠ける、または有限数でない場合はどうなりますか？

欠落・空文字・非数値テキスト・NaN・Infinity は課金されません。

極形式やド・モアブルの定理を使いますか？

使いません。本計算機は四回の乗算と二回の加算で直交形式のままです。極変換と整数べきは別ツールです。

複素数とその共役複素数を掛けるとどうなりますか？

実数になります。a + biとa − biを掛けると虚部の項が打ち消し合い、積はaの2乗とbの2乗の和、つまり絶対値の2乗になります。

結果はどのくらいの精度ですか？

積の実部と虚部は小数点以下12桁に丸められます。同じ因数なら常に同じ数字になるので、解答と確実に照らし合わせられます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a_real": 1,
    "a_imag": 2,
    "b_real": 3,
    "b_imag": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a_real": 1,
    "a_imag": 2,
    "b_real": 3,
    "b_imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "a_real": 1,
  "a_imag": 2,
  "b_real": 3,
  "b_imag": 4
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.multiply_complex_numbers",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

有限数でない部分は invalid_input で失敗し課金されません。

入力契約・応答形・誤り時の振る舞い

一かける三マイナス二かける四がマイナス五、一かける四プラス二かける三が十だからです。本端点は直交文字列と formula 欄を超える作図や段階的な授業散文は出しません。POST で必須の有限数四つを含む JSON 本体を送ってください。a_real と a_imag は第一因子 z1 が a_real プラス a_imag 倍の i、b_real と b_imag は第二因子 z2 が b_real プラス b_imag 倍の i です。各欄は JSON 数または数値文字列でよく、正規名を省いたときは別名 a・real1・real_1 が a_real、b・imag1・imag_1 が a_imag、c・real2・real_2 が b_real、d・imag2・imag_2 が b_imag として受理されます。欠落・空文字・非数値テキスト・NaN・Infinity は欄名付きの invalid_input で失敗し課金されません。例：a_real が 1、a_imag が 2、b_real が 3、b_imag が 4 なら product_real はマイナス五、product_imag は十となり、(1+2i)(3+4i) がマイナス五プラス十 i と一致します。IEEE 浮動小数が Infinity へ溢れる大きさは非有限積として返さず拒否します。検証失敗は課金されず、成功呼び出しは公開の基本価格 $0.002 を用います。ペイロードは独自のラベルや図表と組み合わせてください。

複素数掛け算計算機が役立つ場面

電気工学ノートはインピーダンス・段利得・離散フーリエビンを合成するとき直交フェーザを掛け、四係数のために数式処理系一式を引く代わりに小さな解析 API を呼びます。実装は純粋な parse の tier A なので、成功呼び出しは毎回公開の基本価格 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークもありません。

連携の活用例

教室と宿題の FOIL 確認

学習者に (a+bi)(c+di) の a・b・c・d を送らせ、教科書の展開と product_real・product_imag を照合させ、i 二乗の符号反転も含めて確認します。

試験と LMS の自動採点

NaN と Infinity を invalid_input として拒み、直交の答えを捏造しない決定的オラクルで複素積の設問を採点します。

技術的な質問

二つの複素数を掛けるにはどうしますか。

z1=a+bi の有限数 a_real と a_imag、z2=c+di の b_real と b_imag を送ってください。API は product_real = ac−bd と product_imag = ad+bc を返します。

複素数掛け算計算機の料金はいくらですか。

ブラウザツールは無料です。API 要求は成功呼び出しごとに前払い KIT 残高 $0.002 を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

複素数の掛け算

無料で実行

計算例

FOIL・i の二乗・直交積の恒等式

複素数掛け算計算機が役立つ場面

活用例

フェーザと変換のノート

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

入力契約・応答形・誤り時の振る舞い

複素数掛け算計算機が役立つ場面

連携の活用例

教室と宿題の FOIL 確認

試験と LMS の自動採点

技術的な質問

ありがとう