Multiplicar números complejos
Multiplique dos números complejos en forma rectangular: (1 + 2i)(3 + 4i) da −5 + 10i, con la regla (ac − bd) + (ad + bc)i, en la que i² vale −1. Escriba la parte real y la imaginaria de cada factor. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A real
- 1
- A imaginario
- 2
- B real
- 3
- B imaginario
- 4
- Parte real del producto
- -5
- Parte imaginaria del producto
- 10
- A en forma rectangular
- 1+2i
- B en forma rectangular
- 3+4i
Multiplicar dos números complejos es una destreza central del álgebra que aparece en tareas, fasores de ingeniería eléctrica y cuadernos de tratamiento de señales. Dados z1 = a + bi y z2 = c + di, el producto rectangular es (ac − bd) + (ad + bc)i. Desarrollar por FOIL y sustituir i al cuadrado por menos uno es todo el algoritmo: cuatro multiplicaciones reales y dos sumas, con un cambio de signo en la parte real por el término i al cuadrado. Esta calculadora de multiplicar números complejos acepta las partes real e imaginaria de ambos factores como números finitos, aplica esa identidad de forma determinista y devuelve el producto rectangular para que el alumnado, el profesorado y los scripts de automatización comprueben cada paso FOIL.
FOIL, i al cuadrado y la identidad del producto rectangular
Dos números complejos se multiplican con la misma ley distributiva que los binomios sobre los reales, con una identidad extra: i al cuadrado vale menos uno. Escriba los factores como a más b i y c más d i. El desarrollo FOIL produce cuatro productos reales: a por c, a por d i, b i por c, y b i por d i.
El último término contiene i al cuadrado, que se sustituye por menos uno, de modo que b d i al cuadrado se convierte en menos b d y cae sobre el eje real. Al reunir términos semejantes se obtiene la fórmula rectangular cerrada (a c menos b d) más (a d más b c) i. Esa identidad es todo el algoritmo que ejecuta esta calculadora: cuatro multiplicaciones y dos sumas, con un cambio de signo en la parte real por el término i al cuadrado.
No hay conversión a forma polar, ni argumento, ni rotación de De Moivre: eso corresponde a una herramienta de potencia compleja o de paso de rectangular a polar. La multiplicación de dos números rectangulares permanece en el plano como una rotación escalada, pero no necesita los intermedios polares para calcular el producto. Cuando un factor es real, con parte imaginaria nula, la fórmula se reduce a un simple escalado de ambas partes del otro factor.
Cuando los factores son conjugados a más b i y a menos b i, los términos cruzados imaginarios se anulan y el producto es el número real a al cuadrado más b al cuadrado, que es el módulo al cuadrado. Cero por cualquier cosa es cero. Las partes negativas son de primera clase: los signos se propagan por los cuatro productos exactamente como en el papel.
La capacidad devuelve los factores rectangulares y el producto rectangular para que una demostración de aula fije tanto el desarrollo FOIL como la cadena final a más b i sin recalcular ac menos bd a mano.
Dónde rinde una calculadora de producto de complejos
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de multiplicar números complejos para que quien aprende compruebe las tareas FOIL sin perder el signo de i al cuadrado que vuelve real el último término. Los generadores de preparación de exámenes necesitan un oráculo determinista que trate las partes no finitas como fallos duros en lugar de NaN silenciosos que un calificador defectuoso podría aceptar como producto.
Los scripts de gráficos por computador y de tratamiento de señales tratan a más b i como una semejanza bidimensional (escala y giro) y multiplican dos de ellas para componer transformaciones. La validación fallida no consume saldo. Mantenga las solicitudes pequeñas, fije las partes rectangulares redondeadas en las pruebas y obtendrá productos reproducibles para tareas, complementos de LMS y edge workers sin montar su propia infraestructura de matemática simbólica.
Esta página responde a la consulta del producto de dos factores; no es una herramienta de potencia entera de De Moivre ni un convertidor de rectangular a polar. La intención de búsqueda distinta respecto a esas vecinas es la razón de que esta página exista como calculadora propia y no como un modo de una caja de herramientas complejas general.
Qué puede hacer con ella
Cuadernos de fasores y transformaciones
Multiplique fasores rectangulares o semejanzas 2-D en scripts sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de (a+bi)(c+di)?
Desarrolle FOIL y sustituya i² por −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i. El campo formula reafirma esa identidad en cada éxito.
¿Qué ocurre si falta una parte o no es un número finito?
Los valores ausentes, las cadenas vacías, el texto no numérico, NaN e Infinity no se facturan.
¿Usa forma polar o el teorema de De Moivre?
No. Esta calculadora permanece en forma rectangular con cuatro multiplicaciones y dos sumas. La conversión polar y las potencias enteras son herramientas aparte.
¿Qué se obtiene al multiplicar un número complejo por su conjugado?
Un número real. En a + bi por a − bi los términos imaginarios cruzados se anulan, y el producto es a al cuadrado más b al cuadrado, es decir, el módulo del número al cuadrado.
¿Con qué precisión sale el resultado?
Las partes real e imaginaria del producto se redondean a doce decimales, de modo que los mismos factores dan siempre las mismas cifras y el resultado se puede comparar con fiabilidad con una hoja de respuestas.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a_real": 1,
"a_imag": 2,
"b_real": 3,
"b_imag": 4
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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"a_imag": 2,
"b_real": 3,
"b_imag": 4
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a_real": 1,
"a_imag": 2,
"b_real": 3,
"b_imag": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.multiply_complex_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cualquier parte que no sea un número finito falla con invalid_input y no se factura.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Combine la carga con sus propias etiquetas o gráficos; este extremo no emite trazados ni prosa de aula por pasos más allá de las cadenas rectangulares y el campo formula. Envíe por POST un cuerpo JSON con cuatro números finitos obligatorios: a_real y a_imag para el primer factor z1 igual a a_real más a_imag veces i, y b_real y b_imag para el segundo factor z2 igual a b_real más b_imag veces i. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica. Se aceptan alias habituales cuando se omite el nombre canónico: a, real1 o real_1 para a_real; b, imag1 o imag_1 para a_imag; c, real2 o real_2 para b_real; d, imag2 o imag_2 para b_imag. Los campos ausentes, las cadenas vacías, el texto no numérico, NaN e Infinity fallan con invalid_input nombrando el campo y no se facturan. En caso de éxito el cuerpo repite las cuatro partes limpias, devuelve product_real y product_imag como resultado rectangular principal redondeado a doce decimales para valores de referencia estables, incluye las cadenas de visualización a_rectangular, b_rectangular y product_rectangular, y reafirma la identidad FOIL en el campo formula. Ejemplo: a_real uno, a_imag dos, b_real tres, b_imag cuatro produce product_real menos cinco y product_imag diez, coincidiendo con (1+2i)(3+4i) igual a menos cinco más diez i, porque uno por tres menos dos por cuatro es menos cinco y uno por cuatro más dos por tres es diez. La magnitud que desborda la coma flotante IEEE hacia Infinity se rechaza en lugar de devolver un producto no finito. La validación fallida no se factura; las llamadas exitosas usan el precio base publicado $0.002.
Dónde rinde una calculadora de producto de complejos
Los cuadernos de ingeniería eléctrica multiplican fasores rectangulares al combinar impedancias, ganancias de etapa o bins de Fourier discretos; llamar a una diminuta API de análisis evita cargar un sistema completo de álgebra computacional por cuatro coeficientes. Como la implementación es análisis puro de tier A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente.
Casos de integración
Comprobaciones FOIL de aula y de deberes
Permita que el alumnado envíe a, b, c y d para (a+bi)(c+di) y verifique product_real y product_imag frente al desarrollo del libro, incluido el cambio de signo de i al cuadrado.
Calificación automática en exámenes y LMS
Corrija ítems de producto complejo con un oráculo determinista que rechaza NaN e Infinity como invalid_input y nunca inventa una respuesta rectangular.
Preguntas técnicas
¿Cómo se multiplican dos números complejos?
Envíe números finitos a_real y a_imag para z1=a+bi, más b_real y b_imag para z2=c+di. La API devuelve product_real = ac−bd y product_imag = ad+bc.
¿Cuánto cuesta la calculadora de multiplicar números complejos?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.