Komplexe Zahlen multiplizieren

Zwei komplexe Zahlen zu multiplizieren ist eine zentrale Algebra-Fertigkeit, die in Hausaufgaben, elektrischen Phasoren und Signalverarbeitungs-Notizbüchern vorkommt. Gegeben z1 = a + bi und z2 = c + di, ist das kartesische Produkt (ac − bd) + (ad + bc)i. FOIL auszumultiplizieren und i-Quadrat durch minus eins zu ersetzen, das ist der ganze Algorithmus: vier reelle Multiplikationen und zwei Additionen, mit einem Vorzeichenwechsel am Realteil durch den i-Quadrat-Term. Dieser Rechner fürs Multiplizieren komplexer Zahlen nimmt Real- und Imaginärteil beider Faktoren als endliche Zahlen entgegen, wendet jene Identität deterministisch an und liefert das kartesische Produkt, damit Lernende, Tutoren und Automatisierungsskripte jeden FOIL-Schritt prüfen können.

FOIL, i-Quadrat und die kartesische Produktidentität

Zwei komplexe Zahlen multiplizieren sich nach demselben Distributivgesetz wie Binome über den Reellen, mit einer Extra-Identität: i-Quadrat gleich minus eins. Schreiben Sie die Faktoren als a plus b i und c plus d i. Das FOIL-Ausmultiplizieren erzeugt vier reelle Produkte: a mal c, a mal d i, b i mal c und b i mal d i.

Der letzte Term enthält i-Quadrat, das durch minus eins ersetzt wird, sodass b d i-Quadrat zu minus b d wird und auf die reelle Achse fällt. Das Zusammenfassen gleicher Terme liefert die geschlossene kartesische Formel (a c minus b d) plus (a d plus b c) i. Diese Identität ist der gesamte Algorithmus, den dieser Rechner ausführt: vier Multiplikationen und zwei Additionen, mit einem Vorzeichenwechsel am Realteil durch den i-Quadrat-Term.

Es gibt keine Umwandlung in Polarform, kein Argument und keine De-Moivre-Drehung — das gehört zu einem Komplexpotenz- oder Rechteck-zu-Polar-Werkzeug. Die Multiplikation zweier kartesischer Zahlen bleibt in der Ebene als skalierte Drehung, aber Sie brauchen die polaren Zwischenwerte nie, um das Produkt zu berechnen. Ist ein Faktor reell, Imaginärteil null, reduziert sich die Formel auf gewöhnliches Skalieren beider Anteile des anderen Faktors.

Sind die Faktoren konjugiert a plus b i und a minus b i, heben sich die imaginären Kreuzterme auf und das Produkt ist die reelle Zahl a-Quadrat plus b-Quadrat, also der betragsquadrierte Modul. Null mal irgendetwas ist null. Negative Anteile sind gleichberechtigt: Vorzeichen laufen durch die vier Produkte genau wie auf dem Papier.

Die Fähigkeit gibt die kartesischen Faktoren und das kartesische Produkt zurück, damit eine Unterrichtsdemo sowohl die FOIL-Entwicklung als auch die endgültige a-plus-b-i-Zeichenkette fixieren kann, ohne ac minus bd von Hand neu zu rechnen.

Wo ein Rechner für komplexe Produkte seinen Wert zeigt

Unterrichtsräume und Tutorenplattformen nutzen einen Rechner zum Multiplizieren komplexer Zahlen, damit Lernende FOIL-Hausaufgaben prüfen können, ohne das i-Quadrat-Vorzeichen zu verlieren, das den letzten Term reell macht. Prüfungsvorbereitungs-Generatoren brauchen ein deterministisches Orakel, das nicht endliche Anteile als harte Fehler behandelt statt als stille NaN, die ein fehlerhafter Bewerter als Produkt akzeptieren könnte. Skripte der Computergrafik und Signalverarbeitung behandeln a plus b i als zweidimensionale Ähnlichkeit (Skalierung und Drehung) und multiplizieren zwei davon, um Transformationen zu komponieren.

Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten kartesischen Teile in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Produkte für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Mathematik-Infrastruktur aufzubauen. Diese Seite beantwortet die Zwei-Faktoren-Produktanfrage; sie ist kein De-Moivre-Ganzzahlpotenz-Werkzeug und kein Rechteck-zu-Polar-Umrechner.

Die abweichende Suchintention gegenüber diesen Nachbarn ist der Grund, warum diese Seite als eigener Rechner existiert und nicht als Modus einer allgemeinen Komplex-Werkzeugkiste.