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Komplexe Zahlen dividieren

(3 + 4i) geteilt durch (1 + 2i) ergibt 2,2 − 0,4i. Geben Sie Real- und Imaginärteil beider Zahlen ein und erhalten Sie beide Teile des Quotienten, berechnet über die konjugierte Zahl des Divisors; ein Divisor null wird abgelehnt. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

Realteil 1: 3
Imaginärteil 1: 4
Realteil 2: 1
Imaginärteil 2: 2

Erhalten Sie

Komplexe Zahl 1: 3+4i
Komplexe Zahl 2: 1+2i
Realteil des Quotienten: 2,2
Imaginärteil des Quotienten: -0,4

Eine komplexe Zahl durch eine andere zu dividieren ist die Operation in Rechteckform (a plus b i) durch (c plus d i). Das algebraische Verfahren multipliziert den Dividenden mit der Konjugierten des Divisors und teilt durch den quadrierten Betrag dieses Divisors: der Realteil des Quotienten ist (a c plus b d) über (c im Quadrat plus d im Quadrat) und der Imaginärteil ist (b c minus a d) über (c im Quadrat plus d im Quadrat). Lernende nutzen diese Identität beim Vereinfachen komplexer Brüche, beim Rückweg von der Polarform zu den Rechteckteilen oder beim Prüfen von Hausaufgaben ohne Computeralgebrasystem. Ingenieure wenden dieselbe Identität auf Impedanzverhältnisse, Übertragungsfunktionen und Zeigerquotienten an. Dieser Rechner zum Dividieren komplexer Zahlen nimmt Real- und Imaginärteile beider Zahlen entgegen, lehnt einen Nulldivisor ab und liefert Real- und Imaginärteil des Quotienten samt kompakten Anzeigezeichenketten.

Was das Dividieren komplexer Zahlen algebraisch und geometrisch bedeutet

Eine komplexe Zahl lebt in der Ebene mit dem Realteil auf der horizontalen und dem Imaginärteil auf der vertikalen Achse. z1 durch z2 zu dividieren heißt, mit dem Kehrwert von z2 zu multiplizieren: geometrisch skalieren Sie Längen mit eins über den Betrag von z2 und drehen um das Negative des Arguments von z2. In Rechteckkoordinaten brauchen Sie diese Polarkonversion nicht. Schreiben Sie den Dividenden als a plus b i und den Divisor als c plus d i.

Der Kehrwert des Divisors ist die Konjugierte c minus d i geteilt durch c im Quadrat plus d im Quadrat, weil eine Zahl mal ihre Konjugierte den quadrierten Betrag ergibt. Das Multiplizieren des Dividenden mit diesem Kehrwert erzeugt einen einzigen Bruch, dessen Zähler (a c plus b d) plus (b c minus a d) i ist und dessen Nenner c im Quadrat plus d im Quadrat ist.

Der Realteil des Quotienten ist daher (a c plus b d) geteilt durch (c im Quadrat plus d im Quadrat) und der Imaginärteil (b c minus a d) geteilt durch (c im Quadrat plus d im Quadrat). Die Division ist undefiniert, wenn der Divisor die komplexe Null ist, also wenn c und d beide null sind, weil der quadrierte Betrag im Nenner verschwindet. Ist der Divisor eine rein reelle Zahl, reduziert sich die Formel auf die gewöhnliche Division jedes Teils durch c.

Ist er rein imaginär, ist der Quotient eine Neunzig-Grad-Drehung, skaliert mit eins über den Absolutbetrag von d. Klassische Prüfung: drei plus vier i durch eins plus zwei i ergibt 2.2 minus 0.4 i. Weitere: eins plus i durch eins minus i ergibt i.

Dieser Endpunkt liefert jene Rechteckteile und sendet weder polare Magnitude noch Argument; kombinieren Sie ihn mit einem Betrags- oder Argumentrechner, wenn Sie nach bekanntem Quotienten das Polarpaar brauchen.

Wo die Division komplexer Zahlen hilft

Unterricht und Tutorienplattformen nutzen einen Rechner zum Dividieren komplexer Zahlen, damit Lernende (a plus b i) über (c plus d i) prüfen können, ohne Vorzeichenfehler beim manuellen Ausmultiplizieren der Konjugierten. Prüfungs-Generatoren und LMS-Plugins brauchen ein deterministisches Orakel, das einen Nulldivisor ablehnt, stabile gerundete Teile liefert und niemals einen Quotienten erfindet, wenn der Nenner verschwindet. Elektrotechnik-Notebooks reduzieren Impedanzverhältnisse, Spannungs-über-Strom-Zeiger und Übertragungsfunktions-Abtastwerte auf eine einzige Rechteckdivision, wenn ein vollständiges Computeralgebrasystem übertrieben wäre.

Signalverarbeitungs- und Regelungsskripte wenden dieselbe Identität auf komplexe Verstärkungen und Residuen an, ohne schwere numerische Bibliotheken am Edge aufzubauen. Fehlgeschlagene Validierung, einschließlich Division durch null, wird nicht berechnet.

Anwendungsfälle

Kontrollen im Unterricht und Hausaufgaben

Lassen Sie Lernende Real- und Imaginärteile von (a+bi)/(c+di) senden und den Quotienten gegen das Konjugiertenverfahren des Lehrbuchs prüfen.

Ingenieur-Notebooks und Zeiger

Berechnen Sie Impedanzverhältnisse oder Spannungs-über-Strom-Zeiger in Rechteckform, ohne eine vollständige Computeralgebra-Bibliothek zu ziehen.

Häufige Fragen

Was geschieht, wenn der Divisor null ist?

Die Division durch die komplexe Null 0+0i ist undefiniert, und fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.

Liefert dieser Rechner die Polarform (Betrag und Argument)?

Nein. Diese Fähigkeit liefert nur den Rechteckquotienten. Nutzen Sie ein Werkzeug für Betrag oder Argument, wenn Sie Polarkoordinaten des Ergebnisses brauchen.

Wie viel ist (3 + 4i) geteilt durch (1 + 2i)?

Es ergibt 2,2 − 0,4i. Das Betragsquadrat des Divisors ist 1² + 2², also 5; der Realteil ist (3·1 + 4·2) ÷ 5, der Imaginärteil (4·1 − 3·2) ÷ 5.

Warum multipliziert man mit der konjugierten Zahl des Divisors?

Weil eine komplexe Zahl mal ihre Konjugierte das Betragsquadrat ergibt, also eine reelle Zahl. Dadurch ist der Nenner nicht mehr komplex, und der Quotient zerfällt in Real- und Imaginärteil.

Was passiert, wenn der Divisor reell oder rein imaginär ist?

Ist er reell, wird jeder Teil des Dividenden einfach durch diese Zahl geteilt. Ist er rein imaginär, entspricht der Quotient einer Vierteldrehung, skaliert mit eins durch den Betrag seines Imaginärteils.

Was bedeutet die Division komplexer Zahlen geometrisch?

Sie streckt Längen mit eins durch den Betrag des Divisors und dreht um das Negative seines Arguments. Für das Ergebnis brauchen Sie diese Polardarstellung aber nicht, die algebraische Formel liefert beide Teile direkt.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "real1": 3,
    "imag1": 4,
    "real2": 1,
    "imag2": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "real1": 3,
    "imag1": 4,
    "real2": 1,
    "imag2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "real1": 3,
  "imag1": 4,
  "real2": 1,
  "imag2": 2
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.divide_complex_numbers",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Eingabevertrag, Antwortform und Validierungsverhalten

Nutzen Sie die beiden Quotientenfelder als primäre Antwort; die Anzeigezeichenkette ist eine Erleichterung für Arbeitsblätter und Protokolle. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit vier erforderlichen endlichen Zahlen: real1 und imag1 für den Dividenden z1 sowie real2 und imag2 für den Divisor z2. Nicht endliche Werte, fehlende Felder, leere Zeichenketten und nichtnumerischer Text scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes; solche Fehler werden nicht berechnet. Ein Divisor, dessen Real- und Imaginärteil beide null sind, scheitert ebenfalls mit invalid_input, weil die Division durch die komplexe Null undefiniert ist. Bei Erfolg spiegelt der Körper real1, imag1, real2 und imag2 mit stabiler Zwölf-Dezimalstellen-Rundung; kompakte complex1- und complex2-Anzeigen wie drei plus vier i oder eins minus zwei i; quotient_real und quotient_imag für die Rechteckteile von z1 durch z2; eine quotient-Anzeigezeichenkette dieses Ergebnisses; divisor_squared_modulus gleich real2 im Quadrat plus imag2 im Quadrat, dem Nenner der Konjugiertenformel; und eine Formel, die (a plus b i) über (c plus d i) als ((a c plus b d) plus (b c minus a d) i) über (c im Quadrat plus d im Quadrat) festhält. Klassische Prüfung: real1 gleich drei, imag1 gleich vier, real2 gleich eins, imag2 gleich zwei ergibt Quotient real 2.2 und Quotient imag minus 0.4 mit quadriertem Divisorbetrag fünf.

Wo eine API für komplexe Division sich lohnt

Weil die Implementierung parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten quotient_real und quotient_imag in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Rechteckquotienten für Hausaufgaben, LMS und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Mathematikinfrastruktur zu importieren.

Integrationsbeispiele

Automatische Bewertung von Prüfungen und LMS

Bewerten Sie Items zur komplexen Division mit einem deterministischen Orakel, das quotient_real und quotient_imag liefert und einen Nulldivisor ablehnt.

Technische Fragen

Wie dividiert man zwei komplexe Zahlen in Rechteckform?

Senden Sie endliche Zahlen real1 und imag1 für den Dividenden sowie real2 und imag2 für den Divisor. Die API multipliziert mit der Konjugierten des Divisors und liefert quotient_real = (ac+bd)/(c²+d²) und quotient_imag = (bc−ad)/(c²+d²).

Kann ich die Lehrbuchnamen a, b, c und d statt real1 und imag1 senden?

Ja. Der Handler akzeptiert Aliase a und b für die Dividendenteile sowie c und d für die Divisorteile, außerdem re1, im1, re2 und im2. Kanonische Namen in der Antwort bleiben real1, imag1, real2 und imag2.

Was kostet der Rechner zum Dividieren komplexer Zahlen?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe, einschließlich eines Nulldivisors, wird nicht berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →