Dividir números complexos
(3 + 4i) dividido por (1 + 2i) dá 2,2 − 0,4i. Digite a parte real e a imaginária dos dois números e receba as duas partes do quociente, calculadas com o conjugado do divisor; um divisor nulo é recusado. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real 1
- 3
- Parte imaginária 1
- 4
- Parte real 2
- 1
- Parte imaginária 2
- 2
- Complexo 1
- 3+4i
- Complexo 2
- 1+2i
- Parte real do quociente
- 2,2
- Parte imaginária do quociente
- -0,4
Dividir um número complexo por outro é a operação na forma retangular (a mais b i) por (c mais d i). O método algébrico multiplica o dividendo pelo conjugado do divisor e divide pelo módulo ao quadrado desse divisor: a parte real do quociente é (a c mais b d) sobre (c ao quadrado mais d ao quadrado) e a imaginária é (b c menos a d) sobre (c ao quadrado mais d ao quadrado). Estudantes usam essa identidade ao simplificar frações de complexos, ao voltar da forma polar para as partes retangulares ou ao conferir deveres sem um sistema de álgebra computacional. Engenheiros aplicam a mesma identidade a razões de impedância, funções de transferência e quocientes de fasores. Esta calculadora para dividir números complexos aceita as partes real e imaginária de ambos, rejeita um divisor nulo e devolve as partes real e imaginária do quociente junto com strings compactas de exibição.
O que significa dividir números complexos em álgebra e em geometria
Um número complexo vive no plano com a parte real no eixo horizontal e a imaginária no vertical. Dividir z1 por z2 é multiplicar pelo recíproco de z2: na geometria você escala comprimentos por um sobre o módulo de z2 e gira pelo oposto do argumento de z2. Em coordenadas retangulares essa conversão polar não é necessária.
Escreva o dividendo como a mais b i e o divisor como c mais d i. O recíproco do divisor é o conjugado c menos d i dividido por c ao quadrado mais d ao quadrado, porque um número vezes o conjugado é igual ao módulo ao quadrado. Multiplicar o dividendo por esse recíproco produz uma única fração cujo numerador é (a c mais b d) mais (b c menos a d) i e cujo denominador é c ao quadrado mais d ao quadrado.
A parte real do quociente é portanto (a c mais b d) dividido por (c ao quadrado mais d ao quadrado) e a imaginária é (b c menos a d) dividido por (c ao quadrado mais d ao quadrado). A divisão é indefinida quando o divisor é o complexo nulo, isto é quando c e d são ambos zero, porque o módulo ao quadrado no denominador some. Quando o divisor é um real puro a fórmula se reduz à divisão ordinária de cada parte por c.
Quando é imaginário puro o quociente é uma rotação de noventa graus escalada por um sobre o valor absoluto de d. Verificação clássica: três mais quatro i dividido por um mais dois i dá 2.2 menos 0.4 i. Outra: um mais i dividido por um menos i dá i.
Onde a divisão de complexos aparece
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora para dividir números complexos para que aprendizes verifiquem (a mais b i) sobre (c mais d i) sem erros de sinal ao expandir o conjugado à mão. Geradores de provas e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite um divisor nulo, devolva partes arredondadas de forma estável e nunca invente um quociente quando o denominador some.
Cadernos de engenharia elétrica reduzem razões de impedância, fasores de tensão sobre corrente e amostras de função de transferência a uma única divisão retangular quando um sistema de álgebra completo seria excessivo. Scripts de processamento de sinal e controle aplicam a mesma identidade a ganhos e resíduos complexos sem montar bibliotecas numéricas pesadas na borda. A validação falha, inclusive a divisão por zero, não consome saldo.
Casos de uso
Conferências em sala e deveres
Peça que os estudantes enviem as partes real e imaginária de (a+bi)/(c+di) e confiram o quociente pelo método do conjugado do livro.
Cadernos de engenharia e fasores
Calcule razões de impedância ou fasores de tensão sobre corrente na forma retangular sem puxar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
O que acontece se o divisor for zero?
A divisão pelo complexo nulo 0+0i é indefinida, e a validação falha não é cobrada.
Esta calculadora devolve a forma polar (módulo e argumento)?
Não. Esta capacidade devolve apenas o quociente retangular. Use uma ferramenta de módulo ou de argumento complexo se você precisar das coordenadas polares do resultado.
Quanto é (3 + 4i) dividido por (1 + 2i)?
É 2,2 − 0,4i. O módulo ao quadrado do divisor é 1² + 2², ou seja 5; a parte real é (3·1 + 4·2) ÷ 5 e a imaginária é (4·1 − 3·2) ÷ 5.
Por que se multiplica pelo conjugado do divisor?
Porque um número complexo vezes o seu conjugado dá o módulo ao quadrado, que é um número real. Assim o denominador deixa de ser complexo e o quociente se separa em parte real e imaginária.
E se o divisor for um número real ou imaginário puro?
Se for real, cada parte do dividendo é simplesmente dividida por esse número. Se for imaginário puro, o quociente equivale a um giro de um quarto de volta, escalado por um sobre o valor absoluto da parte imaginária.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.divide_complex_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que significa dividir números complexos em álgebra e em geometria
Este endpoint devolve essas partes retangulares e não emite magnitude polar nem argumento; combine-o com uma calculadora de módulo ou de argumento se você precisar do par polar depois de conhecido o quociente.
Contrato de entrada, forma da resposta e validação
Use os dois campos do quociente como resposta principal; a string de exibição é uma conveniência para folhas e registros. Envie por POST um corpo JSON com quatro números finitos obrigatórios: real1 e imag1 para o dividendo z1, e real2 e imag2 para o divisor z2. Valores não finitos, campos ausentes, strings vazias e texto não numérico falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não são cobradas. Um divisor cujas partes real e imaginária são ambas zero também falha com invalid_input, porque a divisão pelo complexo nulo é indefinida. Em sucesso o corpo ecoa real1, imag1, real2 e imag2 com arredondamento estável a doze casas decimais; strings compactas complex1 e complex2 como três mais quatro i ou um menos dois i; quotient_real e quotient_imag para as partes retangulares de z1 dividido por z2; uma string quotient desse resultado; divisor_squared_modulus igual a real2 ao quadrado mais imag2 ao quadrado, o denominador da fórmula do conjugado; e uma fórmula que reafirma (a mais b i) sobre (c mais d i) igual a ((a c mais b d) mais (b c menos a d) i) sobre (c ao quadrado mais d ao quadrado). Verificação clássica: real1 igual a três, imag1 igual a quatro, real2 igual a um, imag2 igual a dois produz quociente real 2.2 e quociente imag menos 0.4 com módulo ao quadrado do divisor cinco.
Onde uma API de divisão complexa vale a pena
Mantenha pedidos pequenos, fixe nos testes o quotient_real e o quotient_imag arredondados e obtenha quocientes retangulares reproduzíveis para deveres, LMS e workers na borda sem importar infraestrutura simbólica própria.
Casos de integração
Correção automática de provas e LMS
Avalie itens de divisão complexa com um oráculo determinístico que devolve quotient_real e quotient_imag e rejeita um divisor nulo.
Perguntas técnicas
Como dividir dois números complexos na forma retangular?
Envie números finitos real1 e imag1 para o dividendo e real2 e imag2 para o divisor. A API multiplica pelo conjugado do divisor e devolve quotient_real = (ac+bd)/(c²+d²) e quotient_imag = (bc−ad)/(c²+d²).
Posso enviar os nomes de livro a, b, c e d no lugar de real1 e imag1?
Sim. O handler aceita aliases a e b para as partes do dividendo e c e d para as do divisor, além de re1, im1, re2 e im2. Os nomes canônicos da resposta continuam real1, imag1, real2 e imag2.
Quanto custa a calculadora para dividir números complexos?
A ferramenta do navegador é gratuita. As solicitações API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida, inclusive um divisor nulo, não é cobrada.