Dividir números complejos
(3 + 4i) entre (1 + 2i) da 2,2 − 0,4i. Escriba la parte real y la imaginaria de los dos números y obtenga las dos partes del cociente, calculadas con el conjugado del divisor; un divisor nulo se rechaza. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real 1
- 3
- Parte imaginaria 1
- 4
- Parte real 2
- 1
- Parte imaginaria 2
- 2
- Complejo 1
- 3+4i
- Complejo 2
- 1+2i
- Parte real del cociente
- 2,2
- Parte imaginaria del cociente
- -0,4
Dividir un número complejo entre otro es la operación en forma rectangular (a más b i) entre (c más d i). El método algebraico multiplica el dividendo por el conjugado del divisor y divide por el módulo al cuadrado de ese divisor: la parte real del cociente es (a c más b d) sobre (c al cuadrado más d al cuadrado) y la imaginaria es (b c menos a d) sobre (c al cuadrado más d al cuadrado). El alumnado usa esta identidad al simplificar fracciones de complejos, al volver de la forma polar a las partes rectangulares o al corregir deberes sin un sistema de álgebra computacional. Los ingenieros aplican la misma identidad a razones de impedancia, funciones de transferencia y cocientes de fasores. Esta calculadora para dividir números complejos acepta las partes real e imaginaria de ambos, rechaza un divisor nulo y devuelve las partes real e imaginaria del cociente junto con cadenas compactas de visualización.
Qué significa dividir números complejos en álgebra y en geometría
Un número complejo vive en el plano con la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical. Dividir z1 entre z2 equivale a multiplicar por el recíproco de z2: en geometría se escalan las longitudes por uno sobre el módulo de z2 y se rota el ángulo negativo del argumento de z2. En coordenadas rectangulares no hace falta esa conversión polar.
Escriba el dividendo como a más b i y el divisor como c más d i. El recíproco del divisor es el conjugado c menos d i dividido por c al cuadrado más d al cuadrado, porque un número por su conjugado iguala el módulo al cuadrado. Al multiplicar el dividendo por ese recíproco se obtiene una sola fracción cuyo numerador es (a c más b d) más (b c menos a d) i y cuyo denominador es c al cuadrado más d al cuadrado.
La parte real del cociente es por tanto (a c más b d) entre (c al cuadrado más d al cuadrado) y la imaginaria es (b c menos a d) entre (c al cuadrado más d al cuadrado). La división no está definida cuando el divisor es el complejo nulo, es decir cuando c y d son ambos cero, porque el módulo al cuadrado del denominador se anula. Si el divisor es un real puro la fórmula se reduce a dividir cada parte entre c.
Si es imaginario puro el cociente es un giro de noventa grados escalado por uno sobre el valor absoluto de d. Comprobación clásica: tres más cuatro i entre uno más dos i da 2.2 menos 0.4 i. Otra: uno más i entre uno menos i da i.
Dónde se usa la división de complejos
Aulas y plataformas de tutoría usan una calculadora para dividir números complejos a fin de que el alumnado verifique (a más b i) sobre (c más d i) sin errores de signo al expandir el conjugado a mano. Generadores de exámenes y plugins LMS necesitan un oráculo determinista que rechace un divisor nulo, devuelva partes redondeadas de forma estable y nunca invente un cociente cuando el denominador se anula.
Los cuadernos de ingeniería eléctrica reducen razones de impedancia, fasores de tensión sobre corriente y muestras de función de transferencia a una sola división rectangular cuando un sistema de álgebra completo sería excesivo. Scripts de procesado de señal y de control aplican la misma identidad a ganancias y residuos complejos sin montar librerías numéricas pesadas en el borde. La validación fallida, incluida la división entre cero, no consume saldo.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones en clase y deberes
Permita que el alumnado envíe las partes real e imaginaria de (a+bi)/(c+di) y verifique el cociente frente al método del conjugado del libro.
Cuadernos de ingeniería y fasores
Calcule razones de impedancia o fasores de tensión sobre corriente en forma rectangular sin cargar una librería completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si el divisor es cero?
Dividir entre el complejo nulo 0+0i no está definido, y la validación fallida no se factura.
¿Esta calculadora devuelve la forma polar (módulo y argumento)?
No. Esta capacidad devuelve solo el cociente rectangular. Use una herramienta de módulo o de argumento complejo si necesita coordenadas polares del resultado.
¿Cuánto es (3 + 4i) dividido entre (1 + 2i)?
Es 2,2 − 0,4i. El módulo al cuadrado del divisor es 1² + 2², es decir 5; la parte real es (3·1 + 4·2) ÷ 5 y la imaginaria (4·1 − 3·2) ÷ 5.
¿Por qué se multiplica por el conjugado del divisor?
Porque un número complejo por su conjugado da su módulo al cuadrado, que es un número real. Así el denominador deja de ser complejo y el cociente se separa en parte real e imaginaria.
¿Qué pasa si el divisor es un número real o imaginario puro?
Si es real, cada parte del dividendo se divide sin más entre ese número. Si es imaginario puro, el cociente equivale a un giro de un cuarto de vuelta escalado por uno entre el valor absoluto de su parte imaginaria.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.divide_complex_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Qué significa dividir números complejos en álgebra y en geometría
Este endpoint devuelve esas partes rectangulares y no emite magnitud polar ni argumento; combínelo con una calculadora de módulo o de argumento si necesita el par polar una vez conocido el cociente.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y validación
Use los dos campos del cociente como respuesta principal; la cadena de visualización es una comodidad para hojas y registros. Envíe por POST un cuerpo JSON con cuatro números finitos obligatorios: real1 e imag1 para el dividendo z1, y real2 e imag2 para el divisor z2. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; el manejador también acepta alias habituales como re1, a1 o a para real1, im1, b1 o b para imag1, y las formas re2, a2, c, im2, b2 y d de los libros que escriben (a más b i) sobre (c más d i). Valores no finitos, campos ausentes, cadenas vacías y texto no numérico fallan con invalid_input nombrando el campo, y esos fallos no se facturan. Un divisor cuyas partes real e imaginaria son ambas cero también falla con invalid_input, porque dividir entre el complejo nulo no está definido. En éxito el cuerpo repite real1, imag1, real2 e imag2 con redondeo estable a doce decimales; cadenas compactas complex1 y complex2 como tres más cuatro i o uno menos dos i; quotient_real y quotient_imag para las partes rectangulares de z1 entre z2; una cadena quotient de ese resultado; divisor_squared_modulus igual a real2 al cuadrado más imag2 al cuadrado, el denominador de la fórmula del conjugado; y una fórmula que reafirma (a más b i) sobre (c más d i) igual a ((a c más b d) más (b c menos a d) i) sobre (c al cuadrado más d al cuadrado). Comprobación clásica: real1 igual a tres, imag1 igual a cuatro, real2 igual a uno, imag2 igual a dos da cociente real 2.2 y cociente imag menos 0.4 con módulo al cuadrado del divisor cinco.
Dónde aporta valor una API de división compleja
Mantenga las peticiones pequeñas, fije en las pruebas el quotient_real y el quotient_imag redondeados y obtendrá cocientes rectangulares reproducibles para deberes, LMS y workers en el borde sin importar infraestructura simbólica propia.
Casos de integración
Calificación automática de exámenes y LMS
Evalúe ítems de división compleja con un oráculo determinista que devuelve quotient_real y quotient_imag y rechaza un divisor nulo.
Preguntas técnicas
¿Cómo se dividen dos números complejos en forma rectangular?
Envíe números finitos real1 e imag1 para el dividendo y real2 e imag2 para el divisor. La API multiplica por el conjugado del divisor y devuelve quotient_real = (ac+bd)/(c²+d²) y quotient_imag = (bc−ad)/(c²+d²).
¿Puedo enviar los nombres de libro a, b, c y d en lugar de real1 e imag1?
Sí. El manejador acepta alias a y b para las partes del dividendo y c y d para las del divisor, además de re1, im1, re2 e im2. Los nombres canónicos de la respuesta siguen siendo real1, imag1, real2 e imag2.
¿Cuánto cuesta la calculadora para dividir números complejos?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada con éxito; la entrada inválida, incluido un divisor nulo, no se factura.