قسمة الأعداد المركبة
ناتج قسمة (3 + 4i) على (1 + 2i) هو 2.2 − 0.4i. أدخل الجزء الحقيقي والتخيلي للعددين لتحصل على جزأي الناتج، محسوبين بمرافق المقسوم عليه، ويُرفض المقسوم عليه الصفري. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- الجزء الحقيقي 1
- 3
- الجزء التخيلي 1
- 4
- الجزء الحقيقي 2
- 1
- الجزء التخيلي 2
- 2
- العدد المركب 1
- 3+4i
- العدد المركب 2
- 1+2i
- الجزء الحقيقي للناتج
- 2.2
- الجزء التخيلي للناتج
- -0.4
قسمة عدد مركّب على آخر هي العملية بالشكل المستطيل (a زائد b i) على (c زائد d i). الطريقة الجبرية تضرب المقسوم في مرافق المقسوم عليه ثم تقسم على مربع مقياس ذلك المقسوم عليه: الجزء الحقيقي للحاصل هو (a c زائد b d) على (c تربيعًا زائد d تربيعًا) والتخيلي هو (b c ناقص a d) على (c تربيعًا زائد d تربيعًا). يستخدم الطلاب هذه المتطابقة عند تبسيط كسور المركبات أو العودة من الشكل القطبي إلى الأجزاء المستطيلة أو مراجعة الواجبات دون نظام جبر حاسوبي. يطبّق المهندسون المتطابقة ذاتها على نسب الممانعة ودوال النقل وحوصل الطور. تقبل هذه الحاسبة الجزأين الحقيقي والتخيلي لكلا العددين وترفض مقسومًا عليه صفرًا وتعيد الجزء الحقيقي والتخيلي للحاصل مع سلاسل عرض مختصرة.
معنى قسمة الأعداد المركبة جبريًا وهندسيًا
يعيش العدد المركب في المستوى بجزئه الحقيقي على المحور الأفقي وجزئه التخيلي على المحور الرأسي. قسمة z1 على z2 هي الضرب في مقلوب z2: هندسيًا تُقاس الأطوال بواحد على مقياس z2 وتُدار بسلب سعة z2. في الإحداثيات المستطيلة لا حاجة إلى ذلك التحويل القطبي.
اكتبوا المقسوم a زائد b i والمقسوم عليه c زائد d i. مقلوب المقسوم عليه هو المرافق c ناقص d i مقسومًا على c تربيعًا زائد d تربيعًا، لأن العدد في مرافقه يساوي مربع المقياس. ضرب المقسوم في ذلك المقلوب ينتج كسرًا واحدًا بسطه (a c زائد b d) زائد (b c ناقص a d) i ومقامه c تربيعًا زائد d تربيعًا.
إذن الجزء الحقيقي للحاصل هو (a c زائد b d) مقسومًا على (c تربيعًا زائد d تربيعًا) والتخيلي (b c ناقص a d) مقسومًا على (c تربيعًا زائد d تربيعًا). القسمة غير معرّفة عندما يكون المقسوم عليه المركّب الصفري، أي عندما يكون c وd كلاهما صفرًا، لأن مربع المقياس في المقام يتلاشى. إذا كان المقسوم عليه حقيقيًا صرفًا اختُزلت الصيغة إلى قسمة كل جزء على c.
وإذا كان تخيليًا صرفًا كان الحاصل دورانًا بتسعين درجة مضروبًا في واحد على القيمة المطلقة لـ d. فحص كلاسيكي: ثلاثة زائد أربعة i على واحد زائد اثنين i يساوي 2.2 ناقص 0.4 i. فحص آخر: واحد زائد i على واحد ناقص i يساوي i.
يعيد هذا المسار تلك الأجزاء المستطيلة ولا يصدر مقدارًا قطبيًا ولا سعة؛ اقرنوه بحاسبة مقياس أو سعة إذا احتجتم الزوج القطبي بعد معرفة الحاصل.
أين تُثبت واجهة قسمة المركّبات قيمتها
تستخدم الصفوف ومنصات التدريس حاسبة قسمة الأعداد المركبة ليتحقق المتعلمون من (a زائد b i) على (c زائد d i) دون أخطاء إشارة عند فك المرافق يدويًا. تحتاج مولّدات الاختبارات وإضافات LMS إلى وحي حتمي يرفض مقسومًا عليه صفرًا ويعيد أجزاء مقرّبة مستقرة ولا يخترع حاصلًا عندما يتلاشى المقام. تختزل دفاتر الهندسة الكهربائية نسب الممانعة وطور الجهد على التيار وعيّنات دالة النقل إلى قسمة مستطيلة واحدة عندما يكون نظام الجبر الكامل مبالغًا فيه.
تطبّق سكربتات معالجة الإشارة والتحكم المتطابقة ذاتها على المكاسب والبواقي المركّبة دون رفع مكتبات عددية ثقيلة على الحافة. تستفيد المواقع التي تتنافس على عبارة قسمة الأعداد المركبة من أداة حية يتطابق مسارها المجاني في المتصفح بايتًا بايت مع مسار الأتمتة المدفوع على الوحدة النقية نفسها. التحقق الفاشل، بما فيه القسمة على صفر، لا يستهلك الرصيد.
حالات الاستخدام
تحقق الصف والواجبات
دعوا الطلاب يرسلون الجزأين الحقيقي والتخيلي للصيغة (a+bi)/(c+di) ويطابقون الحاصل بطريقة المرافق في الكتاب.
دفاتر هندسية وطور
احسبوا نسب الممانعة أو طور الجهد على التيار بالشكل المستطيل دون سحب مكتبة جبر حاسوبي كاملة.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان المقسوم عليه صفرًا؟
القسمة على المركّب الصفري 0+0i غير معرّفة، والتحقق الفاشل لا يُفوتر.
هل تعيد هذه الحاسبة الشكل القطبي (المقياس والسعة)؟
لا. هذه القدرة تعيد الحاصل المستطيل فقط. استخدموا أداة مقياس أو سعة مركّبة إذا احتجتم الإحداثيات القطبية للناتج.
كم يساوي (3 + 4i) مقسومًا على (1 + 2i)؟
يساوي 2.2 − 0.4i. مربع مقياس المقسوم عليه هو 1² + 2² أي 5، والجزء الحقيقي هو (3·1 + 4·2) ÷ 5 والتخيلي هو (4·1 − 3·2) ÷ 5.
لماذا نضرب في مرافق المقسوم عليه؟
لأن ضرب العدد المركب في مرافقه يعطي مربع مقياسه، وهو عدد حقيقي. بذلك يزول الجزء التخيلي من المقام وينفصل الناتج إلى جزء حقيقي وجزء تخيلي.
ماذا يحدث إذا كان المقسوم عليه حقيقيًا أو تخيليًا بحتًا؟
إذا كان حقيقيًا يُقسم كل جزء من المقسوم على ذلك العدد مباشرة. وإذا كان تخيليًا بحتًا فالناتج دوران بربع دورة مضروب في واحد على القيمة المطلقة لجزئه التخيلي.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.divide_complex_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
المنطق النقي نفسه يشغّل أداة المتصفح المجانية ومسار API، فلا يختلف التحقق الصفي عن خطوط الإنتاج في الحالة الكلاسيكية ثلاثة زائد أربعة i على واحد زائد اثنين i.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك التحقق
استخدموا حقلي الحاصل إجابةً أساسية؛ سلسلة العرض تيسير لأوراق العمل والسجلات. أرسلوا جسم JSON عبر POST يتضمن أربعة أعداد محدودة إلزامية: real1 وimag1 للمقسوم z1، وreal2 وimag2 للمقسوم عليه z2. قد يصل كل حقل كعدد JSON أو كسلسلة رقمية؛ ويقبل المعالج أيضًا أسماءً بديلة شائعة مثل re1 وa1 أو a لـ real1، وim1 وb1 أو b لـ imag1، والصيغ re2 وa2 وc وim2 وb2 وd التي تستخدمها الكتب لكتابة (a زائد b i) على (c زائد d i). القيم غير المحدودة والحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والنص غير الرقمي تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل، ولا تُحسب تلك الإخفاقات. مقسوم عليه جزآه الحقيقي والتخيلي كلاهما صفر يفشل أيضًا بـ invalid_input لأن القسمة على المركّب الصفري غير معرّفة. عند النجاح يعيد الجسم real1 وimag1 وreal2 وimag2 بتقريب مستقر لاثنتي عشرة مرتبة عشرية؛ وسلاسل مختصرة لـ complex1 وcomplex2 مثل ثلاثة زائد أربعة i أو واحد ناقص اثنين i؛ وquotient_real وquotient_imag لأجزاء z1 على z2 المستطيلة؛ وسلسلة quotient لذلك الناتج؛ وdivisor_squared_modulus المساوي لمربع real2 زائد مربع imag2 وهو مقام صيغة المرافق؛ وصيغة تؤكد أن (a زائد b i) على (c زائد d i) يساوي ((a c زائد b d) زائد (b c ناقص a d) i) على (c تربيعًا زائد d تربيعًا). فحص كلاسيكي: real1 يساوي ثلاثة وimag1 يساوي أربعة وreal2 يساوي واحدًا وimag2 يساوي اثنين يعطي حاصلًا حقيقيًا 2.2 وتخيليًا ناقص 0.4 مع مربع مقياس المقسوم عليه خمسة.
أين تُثبت واجهة قسمة المركّبات قيمتها
لأن التنفيذ parse من الطبقة A، تكلف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج وبلا شبكة صادرة. اجعلوا الطلبات صغيرة وثبّتوا quotient_real وquotient_imag المقرّبين في الاختبارات لتحصلوا على حواصل مستطيلة قابلة للتكرار للواجبات وLMS وعُقد الحافة دون استيراد بنية رمزية خاصة.
حالات التكامل
تصحيح آلي للاختبارات وLMS
قيّموا بنود قسمة مركّبة بوحي حتمي يعيد quotient_real وquotient_imag ويرفض مقسومًا عليه صفرًا.
أسئلة تقنية
كيف تُقسم عددان مركّبان بالشكل المستطيل؟
أرسلوا أعدادًا محدودة real1 وimag1 للمقسوم وreal2 وimag2 للمقسوم عليه. تضرب API في مرافق المقسوم عليه وتعيد quotient_real = (ac+bd)/(c²+d²) وquotient_imag = (bc−ad)/(c²+d²).
هل يمكن إرسال أسماء الكتاب a وb وc وd بدل real1 وimag1؟
نعم. يقبل المعالج البدائل a وb لأجزاء المقسوم وc وd لأجزاء المقسوم عليه، إضافة إلى re1 وim1 وre2 وim2. تبقى الأسماء القانونية في الاستجابة real1 وimag1 وreal2 وimag2.
كم تكلفة حاسبة قسمة الأعداد المركبة؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مقدمًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ والمدخل غير الصالح، بما فيه مقسوم عليه صفري، لا يُفوتر.