ضرب الأعداد المركبة
اضرب عددين مركبين بالصيغة الجبرية: (1 + 2i)(3 + 4i) يساوي −5 + 10i، وفق القاعدة (ac − bd) + (ad + bc)i حيث i² تساوي −1. أدخل الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لكل عامل. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A الحقيقي
- 1
- A التخيلي
- 2
- B الحقيقي
- 3
- B التخيلي
- 4
- الجزء الحقيقي للناتج
- -5
- الجزء التخيلي للناتج
- 10
- A بالصيغة الديكارتية
- 1+2i
- B بالصيغة الديكارتية
- 3+4i
ضرب عددين مركبين مهارة جبرية محورية تظهر في الواجبات وفازورات الهندسة الكهربائية ودفاتر معالجة الإشارة. إذا كان z1 = a + bi و z2 = c + di فإن الحاصل المستطيل هو (ac − bd) + (ad + bc)i. التوسيع بـ FOIL واستبدال i تربيعًا بسالب واحد هو الخوارزمية كلها: أربع ضربات حقيقية وجمعان، مع قلب إشارة الجزء الحقيقي بسبب حد i تربيعًا. تقبل حاسبة ضرب الأعداد المركبة هذه الجزأين الحقيقي والتخيلي لكلا العاملين كأعداد منتهية، وتطبّق تلك الهوية بصورة حتمية، وتعيد الحاصل المستطيل ليتحقق الطلاب والمعلمون وسكربتات الأتمتة من كل خطوة FOIL.
FOIL و i تربيعًا وهوية الحاصل المستطيل
يُضرب عددان مركبان بنفس قانون التوزيع للثنائيات على الحقيقي، مع هوية إضافية: i تربيعًا يساوي سالب واحد. اكتب العاملين a زائد b i و c زائد d i. يُنتج توسيع FOIL أربعة حواصل حقيقية: a في c، و a في d i، و b i في c، و b i في d i.
الحد الأخير يحتوي i تربيعًا فيُستبدل بسالب واحد، فيصير b d i تربيعًا سالب b d ويسقط على المحور الحقيقي. بجمع الحدود المتشابهة نحصل على الصيغة المستطيلة المغلقة (a c ناقص b d) زائد (a d زائد b c) i. تلك الهوية هي الخوارزمية كلها التي تشغّلها هذه الحاسبة: أربع ضربات وجمعان، مع قلب إشارة الجزء الحقيقي بسبب حد i تربيعًا.
لا تحويل إلى الشكل القطبي ولا سعة ولا دوران ديموافر؛ فتلك تخص أداة قوة مركبة أو تحويلًا من المستطيل إلى القطبي. يبقى ضرب عددين مستطيلين في المستوى دورانًا مكبَّرًا، لكنك لا تحتاج الوسائط القطبية لحساب الحاصل. عندما يكون أحد العاملين حقيقيًا بجزء تخيلي صفر، تختزل الصيغة إلى تحجيم عادي لجزأي العامل الآخر.
عندما يكون العاملان مترافقين a زائد b i و a ناقص b i، تلغى الحدود المتقاطعة التخيلية ويكون الحاصل العدد الحقيقي a تربيعًا زائد b تربيعًا، وهو مربع المعيار. صفر في أي شيء صفر. الأجزاء السالبة من الدرجة الأولى: الإشارات تسري في الضربات الأربع كما على الورق.
تعيد القدرة العاملين المستطيلين والحاصل المستطيل حتى يثبّت عرض الصف توسيع FOIL والسلسلة النهائية a زائد b i دون إعادة حساب ac ناقص bd يدويًا.
أين تثبت حاسبة ضرب المركبات جدواها
تستخدم الصفوف ومنصات التدريس حاسبة ضرب الأعداد المركبة ليراجع المتعلم واجبات FOIL دون أن يضيع إشارة i تربيعًا التي تجعل الحد الأخير حقيقيًا. تحتاج مولّدات التحضير للامتحانات أوراكلًا حتميًا يعامل الأجزاء غير المنتهية إخفاقات قاسية بدل NaN صامت قد يقبله مصحح معطوب حاصلًا. تعامل سكربتات الرسوم الحاسوبية ومعالجة الإشارة a زائد b i تشابهًا ثنائي البعد (تحجيمًا ودورانًا) وتضرب اثنين منهما لتركيب التحويلات.
تستفيد مواقع المحتوى التي تترتب على حاسبة ضرب الأعداد المركبة من ودجت حي يتطابق مساره المجاني في المتصفح بايتًا ببايت مع مسار الأتمتة المدفوع على الوحدة الخالصة نفسها. التحقق الفاشل لا يستهلك رصيدًا. أبقِ الطلبات صغيرة وثبّت الأجزاء المستطيلة المقربة في الاختبارات فتحصل على حواصل قابلة للتكرار للواجبات وإضافات LMS وعاملات الحافة دون إقامة بنية رياضيات رمزية خاصة بك.
تجيب هذه الصفحة عن استعلام حاصل العاملين؛ وليست أداة قوة صحيحة لديموافر ولا محولًا من المستطيل إلى القطبي. قصد البحث المختلف عن هاتين الجارتين هو سبب وجود الصفحة حاسبة مستقلة لا وضعًا في صندوق أدوات مركبة عام.
حالات الاستخدام
دفاتر الفازورات والتحويلات
اضرب فازورات مستطيلة أو تشابهات ثنائية البعد في السكربتات دون استيراد مكتبة جبر حاسوبي كاملة.
الأسئلة الشائعة
ما صيغة (a+bi)(c+di)؟
وسّع FOIL واستبدل i² بالعدد −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i. يعيد الحقل formula صياغة تلك الهوية عند كل نجاح.
ماذا يحدث إن نقص جزء أو لم يكن عددًا منتهيًا؟
القيم الناقصة والسلاسل الفارغة والنص غير الرقمي و NaN و Infinity لا تُفوتر.
هل تُستخدم الشكل القطبي أو مبرهنة ديموافر؟
لا. تبقى هذه الحاسبة في الشكل المستطيل بأربع ضربات وجمعين. التحويل القطبي والقوى الصحيحة أدوات منفصلة.
ماذا ينتج عن ضرب عدد مركب في مرافقه؟
ينتج عدد حقيقي. ففي ضرب a + bi في a − bi تُلغي الحدود التخيلية المتقاطعة بعضها، ويصبح الناتج مربع a زائد مربع b، أي مربع مقياس العدد.
ما دقة النتيجة؟
يُقرَّب الجزءان الحقيقي والتخيلي لحاصل الضرب إلى اثنتي عشرة منزلة عشرية، فتعطي العوامل نفسها الأرقام نفسها دائمًا، ويمكن مقارنة النتيجة بثقة مع مفتاح الإجابات.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a_real": 1,
"a_imag": 2,
"b_real": 3,
"b_imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a_real": 1,
"a_imag": 2,
"b_real": 3,
"b_imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a_real":1,"a_imag":2,"b_real":3,"b_imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/multiply-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a_real": 1,
"a_imag": 2,
"b_real": 3,
"b_imag": 4
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.multiply_complex_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
أي جزء ليس عددًا منتهيًا يفشل بـ invalid_input ولا يُفوتر. المنطق الخالص نفسه يشغّل ودجت المتصفح المجاني ومسار API بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الخطأ
أرسل عبر POST جسم JSON بأربعة أعداد منتهية إلزامية: a_real و a_imag للعامل الأول z1 يساوي a_real زائد a_imag في i، و b_real و b_imag للعامل الثاني z2 يساوي b_real زائد b_imag في i. قد يصل كل حقل كعدد JSON أو سلسلة رقمية. تُقبل الأسماء البديلة الشائعة عند إغفال الاسم القانوني: a أو real1 أو real_1 لـ a_real؛ b أو imag1 أو imag_1 لـ a_imag؛ c أو real2 أو real_2 لـ b_real؛ d أو imag2 أو imag_2 لـ b_imag. الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والنص غير الرقمي و NaN و Infinity تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل ولا تُفوتر. عند النجاح يعيد الجسم الأجزاء الأربعة المنظفة، ويعطي product_real و product_imag كنتيجة مستطيلة رئيسة مقربة إلى اثنتي عشرة خانة عشرية لذهبية مستقرة، ويتضمن سلاسل العرض a_rectangular و b_rectangular و product_rectangular، ويعيد صياغة هوية FOIL في الحقل formula. مثال: a_real واحد، a_imag اثنان، b_real ثلاثة، b_imag أربعة ينتج product_real سالب خمسة و product_imag عشرة، مطابقًا (1+2i)(3+4i) يساوي سالب خمسة زائد عشرة i، لأن واحدًا في ثلاثة ناقص اثنين في أربعة هو سالب خمسة وواحدًا في أربعة زائد اثنين في ثلاثة هو عشرة. المقدار الذي يفيض فاصلة IEEE العائمة إلى Infinity يُرفض بدل إعادته حاصلًا غير منتهٍ. التحقق الفاشل لا يُفوتر؛ الاستدعاءات الناجحة تستخدم السعر الأساسي المنشور $0.002. اقرن الحمولة بتسمياتك أو رسومك؛ لا يصدر هذا الطرف مخططات ولا نثرًا صفّيًا متدرجًا سوى السلاسل المستطيلة والحقل formula.
أين تثبت حاسبة ضرب المركبات جدواها
تضرب دفاتر الهندسة الكهربائية فازورات مستطيلة عند جمع الممانعات أو أرباح المراحل أو صناديق فورييه المتقطعة؛ واستدعاء API تحليل صغير يغني عن سحب منظومة جبر حاسوبي كاملة لأربعة معاملات. ولأن التنفيذ تحليل خالص من الفئة A، يكلف كل استدعاء ناجح السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة.
حالات التكامل
مراجعات FOIL في الصف والواجب
دع الطلاب يرسلون a و b و c و d للجداء (a+bi)(c+di) ويتحققوا من product_real و product_imag أمام توسيع الكتاب، بما في ذلك قلب إشارة i تربيعًا.
تصحيح آلي في الامتحانات و LMS
صحّح بنود حاصل مركب بأوراكل حتمي يرفض NaN و Infinity كـ invalid_input ولا يخترع أبدًا جوابًا مستطيلًا.
أسئلة تقنية
كيف أضرب عددين مركبين؟
أرسل أعدادًا منتهية a_real و a_imag لـ z1=a+bi، مع b_real و b_imag لـ z2=c+di. تعيد API القيمة product_real = ac−bd و product_imag = ad+bc.
كم تكلفة حاسبة ضرب الأعداد المركبة؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مقدمًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ والإدخال غير الصالح لا يُفوتر.