Distancia entre números complejos
3 + 4i está a 5 unidades del origen, y 1 + 2i está a 5 de 4 + 6i: introduzca dos números complejos y obtenga la distancia entre ellos, la distancia al cuadrado y su diferencia. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real 1
- 3
- Parte imaginaria 1
- 4
- Parte real 2
- 0
- Parte imaginaria 2
- 0
- Complejo 1
- 3+4i
- Complejo 2
- 0
- Diferencia (parte real)
- 3
- Diferencia (parte imaginaria)
- 4
La distancia entre dos números complejos es el módulo de su diferencia: si z1 es a más b i y z2 es c más d i, la separación es la raíz cuadrada de (a menos c) al cuadrado más (b menos d) al cuadrado. Esa longitud es exactamente la distancia euclídea entre los puntos (a, b) y (c, d) en el plano de Argand. El alumnado la usa al medir cuerdas en raíces de la unidad, comparar fasores o comprobar si dos soluciones coinciden. Los ingenieros la aplican a la separación de impedancias, a la magnitud de error entre muestras complejas y a comprobaciones geométricas en control o señales. Esta calculadora acepta las partes real e imaginaria de ambos números y devuelve la distancia no negativa, la distancia al cuadrado, los componentes de la diferencia, cadenas compactas de visualización y una fórmula breve para mostrar junto a la respuesta.
Qué significa la distancia entre números complejos en geometría y en álgebra
Un número complejo vive en el plano con su parte real en el eje horizontal y su parte imaginaria en el vertical. La longitud de ese vector es el módulo de la diferencia, escrito |z1 menos z2|, que por el teorema de Pitágoras se expande a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia real y del cuadrado de la diferencia imaginaria. Como los cuadrados borran el signo, intercambiar los extremos no cambia la distancia: |z1 menos z2| es igual a |z2 menos z1|.
Si los dos números son idénticos la diferencia es cero y la distancia es cero; si uno es el origen la fórmula se reduce al módulo ordinario del otro, de modo que esta capacidad generaliza la calculadora de módulo de un solo punto a un par arbitrario. Pares puramente reales se reducen a la diferencia absoluta de los reales; pares puramente imaginarios, a la diferencia absoluta de las partes imaginarias. La distancia nunca es negativa; solo es cero cuando ambas partes coinciden.
Dónde le sirve medir distancias entre complejos
Aulas y plataformas de tutoría usan una calculadora de distancia entre números complejos para que el alumnado verifique |z1 menos z2| en pares arbitrarios sin errores de signo o de orden de operaciones al restar formas rectangulares a mano. Generadores de exámenes y plugins LMS necesitan un oráculo determinista que rechace basura no finita, devuelva una longitud redondeada estable y nunca invente una separación negativa.
Cuadernos de ingeniería eléctrica reducen separación de fasores, magnitud de diferencia de impedancia y residuos complejos a una sola llamada |z1 menos z2| cuando un sistema de álgebra completo sería excesivo. Scripts de procesado de señal y control comparan el error de muestras complejas vía la distancia al cuadrado sin montar librerías numéricas pesadas en el borde. La validación fallida no consume saldo.
Mantenga peticiones pequeñas, fije la distance redondeada en pruebas y obtendrá separaciones reproducibles para deberes, LMS y workers en el borde sin importar infraestructura simbólica propia.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones en clase y deberes
Permita que el alumnado envíe partes real e imag de z1 y z2 y verifique |z1−z2| frente a métodos pitagóricos o de módulo de la diferencia del libro.
Calificación automática de exámenes y LMS
Evalúe ítems de distancia en el plano complejo con un oráculo determinista que devuelve la raíz no negativa de la suma de deltas al cuadrado y rechaza entrada no finita.
Cuadernos de ingeniería y fasores
Calcule la separación entre dos impedancias o residuos complejos en scripts sin importar una biblioteca de álgebra computacional completa.
Preguntas frecuentes
¿La distancia compleja es lo mismo que el módulo de la diferencia?
Sí. La distancia euclídea en el plano de Argand entre z1 y z2 es exactamente el módulo |z1−z2| de su diferencia compleja.
¿Qué ocurre si uno de los números es cero?
Entonces la distancia se reduce al módulo ordinario del otro número. Por ejemplo, la distancia de 3+4i al origen es 5.
¿Intercambiar z1 y z2 cambia el resultado?
No. La distancia es simétrica: |z1−z2| es igual a |z2−z1|.
¿Cuál es la distancia entre 1 + 2i y 4 + 6i?
Es 5. Su diferencia es −3 − 4i, y la raíz cuadrada de 3² + 4² es 5, igual que la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 3 y 4 dibujado en el plano.
¿Por qué se muestra también la distancia al cuadrado?
Si solo compara separaciones, la raíz no hace falta: la distancia al cuadrado ordena los pares igual. Para 3 + 4i y el origen vale 25, mientras que la distancia es 5.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", {
method: "POST",
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 0,
"imag2": 0
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_distance",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Qué significa la distancia entre números complejos en geometría y en álgebra
Dados dos puntos z1 igual a real1 más imag1 por i y z2 igual a real2 más imag2 por i, el vector de z2 a z1 es la diferencia compleja (real1 menos real2) más (imag1 menos imag2) por i. En la práctica a menudo basta la distancia al cuadrado para comparar separaciones sin raíz; la API devuelve ambos campos para que quien llame elija la forma de su libro, rúbrica LMS o tolerancia numérica sin rederivar la expansión a mano.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y validación
Envíe por POST un cuerpo JSON con cuatro números finitos obligatorios: real1 e imag1 para el primer complejo z1, y real2 e imag2 para el segundo z2. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; el manejador también acepta alias habituales como re1, a1 o x1 para real1, im1, b1 o y1 para imag1, y las formas re2, a2, x2, im2, b2 e y2 para el segundo número. Valores no finitos, campos ausentes, cadenas vacías y texto no numérico fallan con invalid_input nombrando el campo, y esos fallos no se facturan. En éxito el cuerpo repite real1, imag1, real2 e imag2 con redondeo estable a doce decimales; cadenas compactas complex1 y complex2 como tres más cuatro i o cinco menos dos i; delta_real y delta_imag de la diferencia z1 menos z2; la distance no negativa; squared_distance igual a delta_real al cuadrado más delta_imag al cuadrado; un booleano is_zero verdadero solo si la distancia es cero; y una fórmula que reafirma |z1 menos z2| igual a la raíz de (real1 menos real2) al cuadrado más (imag1 menos imag2) al cuadrado. Comprobación clásica: real1 igual a tres, imag1 igual a cuatro, real2 e imag2 iguales a cero da distance cinco y squared_distance veinticinco, el módulo de tres más cuatro i. Otra: real1 uno, imag1 dos, real2 cuatro, imag2 seis da delta real menos tres y delta imag menos cuatro con distance cinco. Use squared_distance para ordenar separaciones o evitar la raíz; el campo distance es siempre la raíz no negativa que los libros etiquetan |z1 menos z2|.
Preguntas técnicas
¿Cómo se calcula la distancia entre dos números complejos?
Envíe números finitos real1, imag1, real2 e imag2 para z1 y z2. La API devuelve |z1−z2| = sqrt((real1−real2)² + (imag1−imag2)²), más la distancia al cuadrado y las partes de la diferencia.
¿Cuánto cuesta la calculadora de distancia entre números complejos?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada con éxito; la entrada inválida no se factura.