Produto de conjugados complexos
(3 + 4i) vezes o seu conjugado (3 − 4i) dá 25: informe as partes real e imaginária e obtenha a² + b², o módulo ao quadrado do número, sempre real e nunca negativo. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 3
- Parte imaginária
- 4
- Conjugado (parte real)
- 3
- Conjugado (parte imaginária)
- -4
- Produto
- 25
- Módulo ao quadrado
- 25
Todo número complexo z escrito como a mais bi tem um conjugado z barra formado ao inverter o sinal da parte imaginária. O produto de um número complexo e seu conjugado é sempre um escalar real não negativo: (a mais bi) vezes (a menos bi) se expande em a ao quadrado mais b ao quadrado, que é exatamente o módulo ao quadrado de z. Essa identidade sustenta a normalização de fasores, cálculos de energia em circuitos, verificações de magnitude em processamento de sinais e todo curso de álgebra que introduz |z| antes da forma polar. Esta calculadora do produto de conjugados complexos aceita os dois coeficientes reais finitos de um único operando retangular, multiplica z por z barra com arredondamento estável e devolve o produto, as partes conjugadas por eco, cadeias de exibição retangular e uma cadeia de fórmula que você pode mostrar ao lado da resposta.
Por que z vezes o conjugado é o módulo ao quadrado
Um número complexo em forma retangular é um par de números reais escrito a mais bi, onde a é a parte real, b é a parte imaginária e i denota a unidade imaginária com i ao quadrado igual a menos um. Algebricamente o produto se expande com a identidade da diferença de quadrados: (a mais bi) vezes (a menos bi) é a ao quadrado menos (bi) ao quadrado.
Como i ao quadrado é menos um, menos (bi) ao quadrado vira mais b ao quadrado, de modo que o produto inteiro se reduz a a ao quadrado mais b ao quadrado sem parte imaginária residual. Geometricamente essa quantidade é o comprimento euclidiano ao quadrado do vetor da origem ao ponto (a, b) no plano de Argand, por isso os livros escrevem z vezes z barra igual a |z| ao quadrado.
O resultado é sempre real e sempre maior ou igual a zero; é zero só quando a e b são ambos zero. O campo formula sempre reafirma a identidade para que tutoriais coloquem a regra ao lado da resposta numérica sem manter uma tabela de conteúdo à parte.
Casos de uso
Revisões de sala e lição de casa
Permita que o alunado envie as partes real e imaginária de z e verifique que z vezes o conjugado é a ao quadrado mais b ao quadrado sem parte imaginária residual.
Correção automática em provas e LMS
Corrija itens de produto por conjugado e módulo ao quadrado com um oráculo determinístico que rejeita coeficientes não finitos e nunca inventa passos intermediários em forma polar.
Scripts de potência e magnitude de fasores
Calcule |z| ao quadrado para potência de circuitos, densidade de energia ou filtros de magnitude ao quadrado em automação sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como calculo o produto de um número complexo e seu conjugado?
Envie dois números finitos: real (a) e imag (b) para z = a+bi.
O resultado é sempre real e não negativo?
Sim. O produto z·z̄ é a²+b², sempre um número real maior ou igual a zero. É zero só quando real e imag são ambos zero.
Isto devolve o módulo |z| ou só |z| ao quadrado?
Tire a raiz quadrada você mesmo se precisar do comprimento euclidiano |z| sem elevar ao quadrado.
O que acontece se um coeficiente faltar ou não for um número?
Entrada inválida não é cobrada e não devolve um produto parcial.
Para que serve o produto de um complexo pelo seu conjugado?
Ele dá a magnitude ao quadrado sem raízes. É usado para normalizar fasores, calcular potência ou energia em circuitos e conferir magnitudes ao quadrado em processamento de sinais, além de exercícios de álgebra antes da forma polar.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 3,
"imag": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_conjugate_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Coeficientes ausentes ou não finitos falham com invalid_input e não são cobrados.
Por que z vezes o conjugado é o módulo ao quadrado
O conjugado complexo de z se obtém refletindo em relação ao eixo real: z barra é a menos bi. Este endpoint não converte para forma polar, não devolve o módulo sem elevar ao quadrado a menos que você tire a raiz quadrada, e não multiplica dois números complexos não relacionados — apenas um número pelo seu próprio conjugado.
Contrato de entrada, forma da resposta e validação
Números puramente reais omitem a unidade imaginária, puramente imaginários omitem parte real nula quando apropriado, coeficientes unitários renderizam como i ou menos i em vez de um i, e sinais mistos usam um único mais ou menos entre as peças real e imaginária. Combine a resposta com seu próprio gráfico do plano de Argand se precisar de um diagrama; esta capacidade calcula apenas o produto pelo conjugado. Envie por POST um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: real para a parte real a de z, e imag para a parte imaginária b. Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia numérica; cadeias vazias, chaves ausentes, Infinity, NaN e texto não numérico falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não consomem saldo pré-pago. Aliases opcionais como a, re, real_part, a_real para a parte real e b, im, imag_part, a_imag, imaginary para a imaginária mapeiam para os mesmos nomes canônicos para que clientes gerados e scripts escritos à mão permaneçam flexíveis. Em caso de sucesso, o corpo ecoa os coeficientes de entrada arredondados como real e imag, devolve conjugate_real e conjugate_imag (iguais a a e a menos b), product e modulus_squared como o mesmo valor não negativo a ao quadrado mais b ao quadrado arredondado a doze casas decimais para goldens estáveis entre ambientes, e fornece cadeias de exibição z e conjugate em forma retangular padrão mais product_display para o resultado escalar. Exemplo: real três e imag quatro produzem product vinte e cinco, cadeia z três mais quatro i, conjugado três menos quatro i e product_display vinte e cinco.
Onde uma API de produto por conjugado vale a pena
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora do produto de conjugados complexos para que quem aprende verifique que z vezes z barra é real e igual a a ao quadrado mais b ao quadrado sem erros de sinal quando a parte imaginária é negativa. Geradores de prova e plugins de LMS precisam de um oráculo determinístico que sempre devolva o mesmo produto arredondado para as mesmas duas entradas, o que a análise pura tier A garante sem tokens de modelo nem rede de saída. Cadernos de engenharia em circuitos e processamento de sinais frequentemente precisam de |z| ao quadrado para potência, densidade de energia ou filtros de magnitude ao quadrado antes de tirar a raiz para o módulo; chamar uma API pequena evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por duas multiplicações e uma adição. Como a implementação é análise pura, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora do produto de conjugados complexos?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.