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複素数の直交→極形式

複素数を大きさと向きで表します。3 + 4iは絶対値5、偏角約53.13°なので、5∠53.13°と書けます。余弦と正弦を使った形も表示します。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

実部: 3
虚部: 4

結果

絶対値: 5
偏角 (度): 53.1301023542
偏角 (rad): 0.927295218
直交形式: 3+4i

直交形式 a + b i で書かれた複素数は、加減算や実部・虚部の読み取りには自然ですが、乗除・累乗・根号は同じ数を極形式または三角関数形式に直すとほぼ常に扱いやすくなります。本計算機は実部 a と虚部 b を受け取り、原点から点 (a, b) へのベクトルのユークリッド長として絶対値 r を求め、二引数の逆正接で主偏角を計算し、すべての象限が正しくなります。応答には度とラジアンの偏角に加え、r 角 theta 度および r（cos theta + i sin theta）形式のコピー用表示文字列が含まれます。原点 0 + 0 i は特別扱いです。

複素数の直交形式・極形式・三角関数形式

任意の複素数 z = a + b i は、複素平面上の点 (a, b) と同一視できます。直交形式は水平・垂直座標を直接表します。a が実部、b が虚部です。

極形式は同じ点を原点からの距離と正の実軸からの向きで表します。距離は絶対値 r = √(a² + b²)、|z| と書きます。向きは偏角 theta = arg(z) で、慣例では主値を −180° から 180°、ラジアンでは −π から π の範囲に取ります。

r と theta が分かれば、z は r∠theta と書け、三角関数形式では r (cos theta + i sin theta) となります。これらの恒等式はド・モアブルの定理の基礎であり、積を絶対値の積と偏角の和に変え、根を円上の等間隔な半直線として求める根拠にもなります。

二項定理だけで a + b i の累乗を展開すると、正しい直交から極への変換の後に消える代数ミスが起きがちです。z の累乗や方程式の求解はせず、絶対値・偏角・二つの標準表示文字列を返し、次の計算が検証済みの極表現から始められるようにします。

極形式で計算が楽になる場面

代数・初等解析の教室では、手計算の象限ミスや度・ラジアンモードの取り違えを避け、任意の a・b について絶対値と偏角を検算するために直交から極への複素数変換計算機が使われます。試験生成器や LMS プラグインには、原点を既知の特例として扱い、クラッシュしたり乱数の角を作らない決定的なオラクルが必要です。

電気工学ノートでは、直列・並列回路の乗算前に直角インピーダンスのフェーザを極の大きさと位相へ変換します。検証失敗は残高を消費しません。

活用例

教室と宿題の検算

学習者に z = a+bi の real と imag を送らせ、絶対値・度の主偏角・三角関数形式の文字列を教科書の手順と照合できるようにします。

フェーザと工学ノート

直積・商の前に直角 a+bi フェーザを極の大きさと位相へ変換し、フルの計算機代数ライブラリを import せずに済みます。

よくある質問

複素数を直交形式から極形式へどう変換しますか？

z = a+bi について有限数 real (a) と imag (b) を送ってください。

偏角はどの象限を使いますか？

二引数逆正接 atan2(imag, real) が θ を (−180°, 180°]（ラジアンでは (−π, π]）の正しい象限に置き、軸上も含みます。

3 + 4iの極形式は何ですか？

絶対値は3² + 4²の平方根で5、偏角は正の実軸から測って約53.13°です。したがって3 + 4iの極形式は5∠53.13°です。

複素数0 + 0iはどうなりますか？

原点では向きが定まらないため、絶対値は0、偏角は慣例により0°とします。結果には原点であることがはっきり示されるので、その角度に意味がないことが分かります。

極形式だと複素数のかけ算が楽になるのはなぜですか？

極形式では括弧を展開する代わりに、絶対値をかけて偏角を足すだけで済みます。累乗や累乗根も同じように簡単になり、これがド・モアブルの定理の考え方です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"real":3,"imag":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "real": 3,
    "imag": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "real": 3,
    "imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"real":3,"imag":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "real": 3,
  "imag": 4
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "trig.rectangular_to_polar_complex",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

絶対値は 0、偏角は慣例で 0 度とし、is_origin フラグにより未定義の角を黙って成功扱いしないようにします。

複素数の直交形式・極形式・三角関数形式

本エンドポイントはその変換のみを行います。

入力契約・原点の特例・応答フィールド

real は z = a + b i の実部 a、imag は虚部 b です。原点 0 + 0 i は文書化された特例です。半直線の図が必要ならご自身の描画コードと組み合わせてください。必須の有限数二つを含む JSON 本体を POST してください。各フィールドは JSON 数または数値文字列で渡せます。欠落・空文字・非有限値はフィールド名付きの invalid_input で失敗し、課金されません。成功時は表示安定化のため丸めた real と imag を返し、非負の modulus、主偏角の argument_deg と argument_rad を報告し、零でない z では is_origin を false にします。rectangular 文字列は教材表示用に a + b i を再構成し、polar_form は r∠theta° 表記、trigonometric_form は r (cos(theta°) + i sin(theta°)) を書きます。modulus は 0、arg(0) が本来未定義のため argument_deg と argument_rad は慣例で 0、is_origin は true、極・三角関数の両文字列は単に 0 です。例：real = 3、imag = 4 なら modulus = 5、偏角は約 53.13 度で、3-4-5 は第一象限の典型的な直角三角形です。例：real = −1、imag = 0 なら modulus = 1、偏角は 180 度で、常に負の実軸上にあります。本エンドポイントは数値と文字列のみを返します。

複素数の極形式 API が役立つ場面

係数が二つだけの問題にフルの計算機代数系を引き込む代わりに、小さな parse API を呼べます。実装は純粋な parse ティア A のため、成功した呼び出しはモデルトークンも外向きネットワークもなく公開の基本料金 $0.002 です。リクエストを小さく保ち、丸めた絶対値と偏角をテストに固定すれば、宿題・採点・エッジワーカー向けに再現可能な極形式と三角関数形式が得られ、独自の記号数学基盤を立てる必要はありません。

連携の活用例

試験と LMS 自動採点

原点を r=0・θ≡0° と扱う決定的オラクルで直交→極の設問を採点し、非有限入力に対して角を捏造しません。

技術的な質問

原点 0+0i では何が起きますか？

原点は特例です。絶対値は 0、argument_deg と argument_rad は慣例で 0、is_origin は true、極・三角関数形式は文字列 "0" です。Arg(0) は本来未定義です。

偏角は度とラジアンのどちらで返りますか？

両方です。argument_deg は度の主偏角、argument_rad は atan2(imag, real) による同じ角のラジアンです。

複素数の直交→極形式計算機の料金は？

ブラウザツールは無料です。API は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

複素数の直交→極形式

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関連ツール

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お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

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入力契約・原点の特例・応答フィールド

複素数の極形式 API が役立つ場面

連携の活用例

試験と LMS 自動採点

技術的な質問

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