Calculadora de divisão sintética
Ao dividir x^3 - 6x^2 + 11x - 6 por x - 2 você obtém x^2 - 4x + 3 com resto 0, então 2 é raiz e a divisão é exata. Digite os coeficientes e r para receber o quociente e o resto. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Coeficientes
- 1, -6, 11, -6
- Resistência (Ω)
- 2
- Grau
- 3
- Divisor linear
- x - 2
- Coeficientes do divisor
- 1, -2
- Quociente
- 1, -4, 3
A divisão sintética é o algoritmo rápido de sala para dividir um polinômio univariado denso por um fator linear mônico da forma x menos r. Dados a lista de coeficientes do maior grau primeiro e o valor r, esta capacidade executa o tableau sintético clássico, devolve o array de coeficientes do quociente um grau abaixo do dividendo e informa o resto como um único número. Quando o resto é zero, r é uma raiz e o quociente é um fator exato, a ponte entre o teorema do fator e a fatoração polinomial.
O que a divisão sintética calcula e como enviar coeficientes
O divisor linear mônico é x menos r; você pode enviar r diretamente, ou um array divisor de dois coeficientes que representa qualquer polinômio linear não nulo a x mais b, do qual o motor recupera r igual a menos b sobre a. A divisão sintética então produz um quociente de grau n menos um cujos coeficientes são a linha interior do tableau clássico, mais um resto único igual a p de r pelo teorema do resto.
Se esse resto for zero, o dividendo se fatore exatamente como (x menos r) vezes o quociente, que é o teorema do fator dos cursos de álgebra. Dividendos só constantes são rejeitados porque não há passo de divisão genuíno; graus extremamente altos são limitados por segurança do isolate.
Executar o tableau sintético e ler quociente mais resto
Baixe o coeficiente principal em linha reta; multiplique por r e some esse produto ao próximo coeficiente do dividendo; repita até dobrar cada coeficiente. Os números escritos na linha inferior antes da última célula são os coeficientes do quociente do maior grau primeiro; a célula final é o resto. O mesmo processo é avaliação de Horner de p em r quando se guarda só a última célula, por isso resto zero prova que r é raiz sem um passo de avaliação separado.
Coeficientes ausentes, r ausente quando não há divisor, pares r e divisor contraditórios e entradas não finitas falham do mesmo modo e não são cobrados.
Casos de uso
Verificação de lição e tutoria
Alunos e corretores confirmam coeficientes do quociente e resto para dividendos cúbicos e quáticos divididos por x − r, com erros claros quando um divisor não linear é enviado.
Teorema do fator e raízes racionais
Ferramentas de currículo testam raízes candidatas por divisão sintética e mostram fatoração exata quando o resto é zero, sem instalar um pacote de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
E se o divisor não for linear?
A divisão sintética só suporta fatores lineares mônicos x − r (ou um divisor linear equivalente de dois coeficientes). Não lineares são rejeitados e não cobrados.
O que significa resto zero?
Pelo teorema do fator, r é raiz do dividendo e o quociente é um fator polinomial exato.
A calculadora de divisão sintética é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Posso enviar o divisor como coeficientes em vez de r?
Sim. Forneça divisor como array de comprimento 2 [a, b] para a x + b. O motor recupera r = −b/a.
Como fazer a divisão sintética passo a passo?
Desça o coeficiente líder, multiplique por r e some o resultado ao próximo coeficiente; repita até o fim. Com 1, -6, 11, -6 e r igual a 2, a linha de baixo é 1, -4, 3, e a última casa, 0, é o resto.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.synthetic_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Divisores não lineares são rejeitados com invalid_input em vez de cair em silêncio na divisão longa, de modo que o contrato coincide com o que a divisão sintética pode calcular legalmente.
O que a divisão sintética calcula e como enviar coeficientes
Escreva o dividendo como a_n x à n mais a_{n-1} x à n-1 até a constante a_0, e empacote esses números em um array do maior grau primeiro de modo que a primeira entrada seja o coeficiente principal e a última o termo constante. O grau deve ser pelo menos um e o coeficiente principal não nulo: um termo principal zero é invalid_input para que quem chama declare o grau pretendido.
Executar o tableau sintético e ler quociente mais resto
Esta capacidade sempre devolve números finitos limpos, uma string polinomial legível, uma string do polinômio quociente, o texto do divisor mônico, os coeficientes originais opcionais do divisor quando você os forneceu, um flag booleano factors_exactly e uma string de identidade curta que reafirma dividendo igual a divisor vezes quociente mais resto. Arrays divisor não lineares —por exemplo um fator quadrático— lançam invalid_input com mensagem explícita de que só fatores lineares são suportados, porque a divisão polinomial geral é outro algoritmo com outra intenção SEO.
Uso da API, preços, fluxos de sala e limites práticos
Use a ferramenta gratuita no navegador para checagens de lição, demos de aula e verificações rápidas do teorema do fator sem instalar Maxima, SymPy ou um CAS local. Envie um corpo JSON com o array coefficients obrigatório de números finitos do maior grau primeiro, mais o campo numérico r ou um array de coeficientes de divisor linear; aliases coeffs, dividend, root e zero são aceitos onde documentado. Em sucesso a resposta ecoa o dividendo limpo, degree, r, rótulo do divisor, array quotient, remainder, factors_exactly, strings de exibição e o rótulo method synthetic_division. Use a API pré-paga quando uma plataforma de tutoria, sandbox de avaliação de código, gerador de currículo ou pipeline de álgebra precisar de contrato estável sob saldo KIT a US$ 0,002 por item bem-sucedido; falhas de validação nunca consomem saldo após a rejeição do motor. O grau é limitado por segurança do isolate do Worker, e magnitudes de coeficiente extremamente grandes podem sofrer cancelamento ordinário de dupla precisão, então prefira entradas de sala e engenharia bem escaladas. Emparelhe este endpoint com um buscador de raízes quando você só conhece raízes candidatas, ou chame-o repetidamente para descascar raízes racionais em treinos de fatoração manual.
Casos de integração
Pipelines de álgebra leves
Scripts que desinflam fatores lineares conhecidos chamam um endpoint JSON estável em vez de reimplementar o tableau sintético em cada linguagem ou serviço.
Perguntas técnicas
Como executo a divisão sintética com esta API?
Envie JSON com coefficients do maior grau primeiro (por exemplo [1, -6, 11, -6] para x³ − 6x² + 11x − 6) e r para o divisor x − r (por exemplo r: 2). A resposta inclui coeficientes do quociente e resto.