Synthetische Division
Teilt man x^3 - 6x^2 + 11x - 6 durch x - 2, erhält man x^2 - 4x + 3 mit Rest 0: 2 ist also eine Nullstelle, und die Division geht auf. Geben Sie die Koeffizienten und r ein, um Quotient und Rest zu erhalten. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Koeffizienten
- 1, -6, 11, -6
- Widerstand (Ω)
- 2
- Grad
- 3
- Divisor (linear)
- x - 2
- Divisorkoeffizienten
- 1, -2
- Quotient (Polynom)
- 1, -4, 3
Synthetische Division ist der schnelle Unterrichtsalgorithmus zum Teilen eines dichten univariaten Polynoms durch einen monischen linearen Faktor der Form x minus r. Gegeben die Koeffizientenliste höchsten Grades zuerst und den Wert r, führt diese Fähigkeit das klassische synthetische Tableau aus, liefert das Quotienten-Koeffizienten-Array einen Grad niedriger als der Dividend und meldet den Rest als einzelne Zahl. Ist der Rest null, ist r eine Wurzel und der Quotient ein exakter Faktor — die Brücke zwischen Faktorsatz und Polynomfaktorisierung.
So funktioniert die synthetische Division
Die synthetische Division teilt ein Polynom durch einen linearen Faktor der Form x − r, ohne die lange Polynomdivision aufzuschreiben. Sie schreiben die Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zum Absolutglied in eine Zeile. Den ersten Koeffizienten holen Sie unverändert nach unten, multiplizieren ihn mit r, addieren das Ergebnis zum nächsten Koeffizienten und wiederholen das bis zum Ende. Die unteren Zahlen vor der letzten Stelle sind die Koeffizienten des Quotienten, die letzte ist der Rest. Für x^3 - 6x^2 + 11x - 6 und r gleich 2 entstehen 1, -4, 3 und der Rest 0.
Wann sie hilft und typische Fehler
Ein Rest von null zeigt, dass r eine Nullstelle ist und das Polynom genau in (x − r) mal den Quotienten zerfällt; das ist der Faktorsatz. Deshalb eignet sich das Verfahren, um mögliche Nullstellen von Polynomen dritten und vierten Grades zu testen. Häufige Fehler sind Koeffizienten in falscher Reihenfolge, ein Vorzeichenfehler bei r und der Versuch, durch einen quadratischen Faktor zu teilen. Das ist mit diesem Verfahren nicht möglich, und der Rechner weist solche Teiler ab, statt auf eine andere Methode auszuweichen.
Was die synthetische Division berechnet und wie Koeffizienten zu senden sind
Der monische lineare Divisor ist x minus r; Sie können r direkt senden oder ein Zwei-Koeffizienten-Divisor-Array, das jedes nicht nullte lineare Polynom a x plus b darstellt, aus dem die Engine r gleich minus b über a gewinnt. Die synthetische Division erzeugt dann einen Quotienten vom Grad n minus eins, dessen Koeffizienten die innere Zeile des klassischen Tableaus sind, plus einen einzigen Rest gleich p von r nach dem Restsatz.
Ist dieser Rest null, faktorisiert der Dividend exakt als (x minus r) mal den Quotienten — genau der Faktorsatz der Algebra-Kurse. Nur-konstante Dividenden werden abgelehnt, weil es keinen echten Divisionsschritt gibt; extrem hohe Grade sind zur Isolate-Sicherheit begrenzt.
Das synthetische Tableau ausführen und Quotient plus Rest lesen
Bringen Sie den Leitkoeffizienten gerade herunter; multiplizieren Sie mit r und addieren Sie dieses Produkt zum nächsten Dividendenkoeffizienten; wiederholen Sie, bis jeder Koeffizient gefaltet ist. Die Zahlen in der unteren Zeile vor der letzten Zelle sind die Quotientenkoeffizienten höchsten Grades zuerst; die letzte Zelle ist der Rest. Derselbe Prozess ist die Horner-Auswertung von p an r, wenn Sie nur die letzte Zelle behalten — deshalb beweist ein nullter Rest, dass r eine Wurzel ist, ohne separaten Auswertungsschritt.
Fehlende Koeffizienten, fehlendes r ohne Divisor, widersprüchliche r- und Divisor-Paare und nicht endliche Einträge scheitern gleich und werden nicht berechnet.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Tutor-Prüfung
Lernende und Bewerter bestätigen Quotientenkoeffizienten und Rest für kubische und quartische Dividenden geteilt durch x − r, mit klaren Fehlern bei nichtlinearem Divisor.
Faktorsatz und rationale Wurzeln
Curriculum-Werkzeuge testen Kandidatenwurzeln per synthetischer Division und zeigen exakte Faktorisierung bei Rest null, ohne Computeralgebra-Paket.
Häufige Fragen
Was, wenn der Divisor nicht linear ist?
Synthetische Division unterstützt nur monische lineare Faktoren x − r (oder einen äquivalenten Zwei-Koeffizienten-Linear-Divisor). Nichtlineare werden abgelehnt und nicht berechnet.
Was bedeutet Rest null?
Nach dem Faktorsatz ist r eine Wurzel des Dividenden und der Quotient ein exakter Polynomfaktor.
Kann ich den Divisor als Koeffizienten statt r senden?
Ja. Geben Sie divisor als Array der Länge 2 [a, b] für a x + b an. Die Engine gewinnt r = −b/a.
Wie geht die synthetische Division Schritt für Schritt?
Holen Sie den Leitkoeffizienten nach unten, multiplizieren Sie ihn mit r und addieren Sie das Ergebnis zum nächsten Koeffizienten; wiederholen Sie das bis zum Ende. Mit 1, -6, 11, -6 und r gleich 2 lautet die untere Zeile 1, -4, 3, der Rest ist 0.
In welcher Reihenfolge gebe ich die Koeffizienten ein?
Von der höchsten Potenz bis zum Absolutglied: Die erste Zahl ist der Leitkoeffizient, der nicht null sein darf, die letzte das Absolutglied. Das Polynom muss mindestens den Grad eins haben.
Was bedeutet ein Rest von null?
Dann ist r eine Nullstelle, und das Polynom zerfällt genau in (x − r) mal den Quotienten. Bei x^3 - 6x^2 + 11x - 6 und r gleich 2 ist das der Fall.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.synthetic_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
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Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Nichtlineare Divisoren werden mit invalid_input abgelehnt statt still auf Langdivision zurückzufallen, sodass der Vertrag dem entspricht, was synthetische Division legal berechnen kann.
Was die synthetische Division berechnet und wie Koeffizienten zu senden sind
Schreiben Sie den Dividenden als a_n x hoch n plus a_{n-1} x hoch n-1 bis zur Konstanten a_0 und packen Sie diese Zahlen in ein Array höchsten Grades zuerst, sodass der erste Eintrag der Leitkoeffizient und der letzte der konstante Term ist. Der Grad muss mindestens eins sein und der Leitkoeffizient ungleich null: ein nullter Leitterm ist invalid_input, damit Aufrufer den beabsichtigten Grad deklarieren.
Das synthetische Tableau ausführen und Quotient plus Rest lesen
Diese Fähigkeit liefert immer bereinigte endliche Zahlen, eine lesbare Polynomzeichenkette, eine passende Quotienten-Polynomzeichenkette, den monischen Divisortext, optionale originale Divisorkoeffizienten falls geliefert, ein boolesches factors_exactly-Flag und eine kurze Identitätszeichenkette, die Dividend gleich Divisor mal Quotient plus Rest erneut festhält. Nichtlineare Divisor-Arrays — etwa ein quadratischer Faktor — lösen invalid_input mit der expliziten Meldung aus, dass nur lineare Faktoren unterstützt werden, weil allgemeine Polynomdivision ein anderer Algorithmus mit anderer SEO-Absicht ist.
API-Nutzung, Preise, Unterrichtsabläufe und praktische Grenzen
Nutzen Sie das kostenlose Browser-Werkzeug für Hausaufgabenprüfungen, Vorlesungsdemos und schnelle Faktorsatz-Checks ohne Maxima, SymPy oder ein lokales CAS. Koppeln Sie diesen Endpunkt mit einem Wurzelfinder, wenn Sie nur Kandidatenwurzeln kennen, oder rufen Sie ihn wiederholt auf, um rationale Wurzeln bei manuellen Faktorisierungsübungen abzuschälen. Senden Sie einen JSON-Körper mit dem erforderlichen coefficients-Array endlicher Zahlen höchsten Grades zuerst plus dem numerischen Feld r oder einem linearen Divisor-Koeffizienten-Array; Aliasse coeffs, dividend, root und zero werden wo dokumentiert akzeptiert. Bei Erfolg spiegelt die Antwort den bereinigten Dividenden, degree, r, Divisor-Label, quotient-Array, remainder, factors_exactly, Anzeigezeichenketten und das Methodenlabel synthetic_division wider. Nutzen Sie die vorausbezahlte API, wenn eine Tutor-Plattform, Coding-Assessment-Sandbox, Curriculum-Generator oder Algebra-Pipeline einen stabilen Vertrag unter KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Artikel braucht; Validierungsfehler verbrauchen nach Ablehnung nie Guthaben. Der Grad ist zur Worker-Isolate-Sicherheit begrenzt, und extrem große Koeffizientenbeträge können gewöhnliche Doppelpräzisions-Auslöschung erleiden — bevorzugen Sie gut skalierte Unterrichts- und Technik-Eingaben.
Integrationsbeispiele
Leichte Algebra-Pipelines
Skripte, die bekannte lineare Faktoren abziehen, rufen einen stabilen JSON-Endpunkt statt das synthetische Tableau in jeder Sprache neu zu implementieren.
Technische Fragen
Wie führe ich synthetische Division mit dieser API aus?
Senden Sie JSON mit coefficients höchsten Grades zuerst (z. B. [1, -6, 11, -6] für x³ − 6x² + 11x − 6) und r für den Divisor x − r (z. B. r: 2). Die Antwort enthält Quotientenkoeffizienten und Rest.
Ist der Rechner für synthetische Division kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Artikel; Validierungsfehler werden nicht berechnet.