Calculateur de division synthétique
Diviser x^3 - 6x^2 + 11x - 6 par x - 2 donne x^2 - 4x + 3 avec un reste de 0 : 2 est donc une racine et la division est exacte. Saisissez les coefficients et r pour obtenir le quotient et le reste. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Coefficients poly.
- 1, -6, 11, -6
- Résistance (Ω)
- 2
- Degré
- 3
- Diviseur
- x - 2
- Coefficients du diviseur
- 1, -2
- Quotient poly.
- 1, -4, 3
La division synthétique est l'algorithme rapide de classe pour diviser un polynôme univarié dense par un facteur linéaire monique de la forme x moins r. Étant donnés la liste de coefficients du plus haut degré d'abord et la valeur r, cette capacité exécute le tableau synthétique classique, renvoie le tableau des coefficients du quotient d'un degré inférieur au dividende et rapporte le reste comme un seul nombre. Lorsque le reste est zéro, r est une racine et le quotient est un facteur exact, le pont entre le théorème du facteur et la factorisation polynomiale.
Ce que calcule la division synthétique et comment envoyer les coefficients
Le diviseur linéaire monique est x moins r ; vous pouvez envoyer r directement, ou un tableau diviseur à deux coefficients représentant tout polynôme linéaire non nul a x plus b, dont le moteur récupère r égal à moins b sur a. La division synthétique produit alors un quotient de degré n moins un dont les coefficients sont la ligne intérieure du tableau classique, plus un reste unique égal à p de r par le théorème du reste.
Si ce reste est zéro, le dividende se factorise exactement comme (x moins r) fois le quotient, ce qui est le théorème du facteur des cours d'algèbre. Les dividendes uniquement constants sont rejetés car il n'y a pas d'étape de division réelle ; les degrés extrêmement élevés sont plafonnés pour la sécurité de l'isolate.
Exécuter le tableau synthétique et lire quotient plus reste
Descendez le coefficient principal en ligne droite ; multipliez par r et ajoutez ce produit au coefficient suivant du dividende ; répétez jusqu'à plier chaque coefficient. Les nombres écrits dans la ligne inférieure avant la dernière cellule sont les coefficients du quotient du plus haut degré d'abord ; la cellule finale est le reste. Le même processus est l'évaluation de Horner de p en r lorsque vous ne gardez que la dernière cellule, c'est pourquoi un reste zéro prouve que r est une racine sans une passe d'évaluation séparée.
Coefficients manquants, r manquant lorsqu'aucun diviseur n'est donné, paires r et diviseur contradictoires et entrées non finies échouent de la même façon et ne sont pas facturés.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et tutorat
Élèves et correcteurs confirment les coefficients du quotient et le reste pour des dividendes cubiques et quartiques divisés par x − r, avec des erreurs claires lorsqu'un diviseur non linéaire est soumis.
Théorème du facteur et racines rationnelles
Les outils de curriculum testent des racines candidates par division synthétique et montrent une factorisation exacte lorsque le reste est zéro, sans installer un paquet d'algèbre formelle.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si le diviseur n'est pas linéaire ?
La division synthétique ne prend en charge que les facteurs linéaires moniques x − r (ou un diviseur linéaire équivalent à deux coefficients). Les non linéaires sont rejetés et non facturés.
Que signifie un reste zéro ?
Par le théorème du facteur, r est une racine du dividende et le quotient est un facteur polynomial exact.
Puis-je envoyer le diviseur comme coefficients au lieu de r ?
Oui. Fournissez divisor comme tableau de longueur 2 [a, b] pour a x + b. Le moteur récupère r = −b/a.
Comment faire une division synthétique étape par étape ?
Abaissez le coefficient dominant, multipliez-le par r et ajoutez le résultat au coefficient suivant ; recommencez jusqu’au bout. Avec 1, -6, 11, -6 et r égal à 2, la ligne du bas est 1, -4, 3, et la dernière case, 0, est le reste.
Dans quel ordre saisir les coefficients ?
Du plus haut degré au terme constant : le premier nombre est le coefficient dominant, qui ne peut pas être nul, et le dernier est le terme constant. Le polynôme doit être au moins du premier degré.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.synthetic_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les diviseurs non linéaires sont rejetés avec invalid_input au lieu de basculer silencieusement vers la division longue, de sorte que le contrat correspond à ce que la division synthétique peut légalement calculer.
Ce que calcule la division synthétique et comment envoyer les coefficients
Écrivez le dividende comme a_n x à la n plus a_{n-1} x à la n-1 jusqu'à la constante a_0, et emballez ces nombres dans un tableau du plus haut degré d'abord de sorte que la première entrée soit le coefficient principal et la dernière le terme constant. Le degré doit être au moins un et le coefficient principal non nul : un terme principal zéro est invalid_input pour que l'appelant déclare le degré prévu.
Exécuter le tableau synthétique et lire quotient plus reste
Cette capacité renvoie toujours des nombres finis nettoyés, une chaîne polynomiale lisible, une chaîne du polynôme quotient, le texte du diviseur monique, les coefficients originaux optionnels du diviseur lorsque vous les avez fournis, un drapeau booléen factors_exactly et une courte chaîne d'identité qui réaffirme dividende égal à diviseur fois quotient plus reste. Les tableaux diviseur non linéaires —par exemple un facteur quadratique— lèvent invalid_input avec un message explicite que seuls les facteurs linéaires sont pris en charge, car la division polynomiale générale est un autre algorithme avec une autre intention SEO.
Usage API, tarification, flux de classe et limites pratiques
Utilisez l'outil gratuit dans le navigateur pour les contrôles de devoirs, démos de cours et vérifications rapides du théorème du facteur sans installer Maxima, SymPy ou un CAS local. Associez ce point de terminaison à un chercheur de racines lorsque vous ne connaissez que des racines candidates, ou appelez-le de façon répétée pour peler des racines rationnelles lors d'exercices de factorisation manuelle. Envoyez un corps JSON avec le tableau coefficients obligatoire de nombres finis du plus haut degré d'abord, plus le champ numérique r ou un tableau de coefficients de diviseur linéaire ; les alias coeffs, dividend, root et zero sont acceptés où documenté. En succès la réponse renvoie le dividende nettoyé, degree, r, libellé du diviseur, tableau quotient, remainder, factors_exactly, chaînes d'affichage et le libellé method synthetic_division. Utilisez l'API prépayée lorsqu'une plateforme de tutorat, bac à sable d'évaluation de code, générateur de curriculum ou pipeline d'algèbre a besoin d'un contrat stable sous solde KIT à $0.002 par article réussi ; les échecs de validation ne consomment jamais le solde après le rejet du moteur. Le degré est borné pour la sécurité de l'isolate Worker, et des magnitudes de coefficients extrêmement grandes peuvent souffrir d'annulation ordinaire en double précision, donc préférez des entrées de classe et d'ingénierie bien mises à l'échelle.
Cas d'intégration
Pipelines d'algèbre légers
Des scripts qui dégonflent des facteurs linéaires connus appellent un point de terminaison JSON stable au lieu de réimplémenter le tableau synthétique dans chaque langage ou service.
Questions techniques
Comment exécuter la division synthétique avec cette API ?
Envoyez un JSON avec coefficients du plus haut degré d'abord (par exemple [1, -6, 11, -6] pour x³ − 6x² + 11x − 6) et r pour le diviseur x − r (par exemple r: 2). La réponse inclut coefficients du quotient et reste.
Le calculateur de division synthétique est-il gratuit ?
L'outil navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par article réussi ; les échecs de validation ne sont pas facturés.