Racines de polynômes
Obtenez les racines réelles d'un polynôme avec leur multiplicité : x³ − 6x² + 11x − 6 a pour racines 1, 2 et 3, chacune simple. Une racine double apparaît une seule fois avec la multiplicité 2. Gratuit dans votre navigateur.
- Gratuit
- Fonctionne dans votre navigateur
- Sans inscription
- Vos données restent sur votre appareil
Lancer gratuitement
Exemple résolu
- Liste des coefficients
- 1, -6, 11, -6
- Degré
- 3
- Polynôme
- x^3 - 6x^2 + 11x - 6
- Racines
- 1, 2, 3
- Multiplicités
- 1, 1, 1
Trouver tout nombre réel où un polynôme s'annule est une compétence centrale en algèbre, calcul, ingénierie et calcul scientifique. Étant donné la liste de coefficients d'un polynôme univarié—degré le plus élevé d'abord—cette capacité renvoie chaque racine réelle distincte avec sa multiplicité. Les racines entières et rationnelles sont découvertes avec le théorème classique des racines rationnelles et ôtées par division synthétique ; tout résiduel quadratique est résolu sous forme fermée ; les facteurs résiduels de degré supérieur sont isolés avec les points critiques de la dérivée, une borne de magnitude de Cauchy, la dichotomie et le polissage de Newton. Un coefficient dominant zéro est rejeté comme entrée invalide au lieu d'abaisser le degré en silence.
Coefficients, degré et ce que signifie « toutes les racines réelles »
Le degré est un de moins que la longueur d'un tableau bien formé. Une racine réelle est tout nombre réel r tel que p(r) égale zéro ; les paires conjuguées complexes non réelles sont intentionnellement omises car de nombreuses tâches de classe et de pipeline ne s'intéressent qu'aux croisements réels de l'axe x.
La multiplicité compte combien de fois (x moins r) divise p : une racine double de (x moins 1) au carré apparaît une fois dans la liste des racines avec multiplicité deux, ce qui est plus utile pour le graphisme et les fractions partielles que de lister la même valeur deux fois. Les polynômes constants non nuls ont degré zéro et une liste de racines vide.
Comment le solveur combine le théorème des racines rationnelles avec le raffinement numérique
Lorsque chaque coefficient est proche d'un entier, le théorème des racines rationnelles fournit un ensemble fini de candidats : toute racine rationnelle en termes minimaux p sur q a p divisant le terme constant et q divisant le coefficient dominant, y compris les variantes de signe et zéro lorsque le terme constant s'annule. Chaque candidat est évalué par la méthode de Horner ; les coups sont retirés par division synthétique et le processus se répète pour capturer les multiplicités.
Après déflation rationnelle, un résiduel linéaire donne une racine par division, et un résiduel quadratique utilise la formule du discriminant, renvoyant zéro, une ou deux racines réelles.
Les degrés résiduels plus élevés sont traités sans bibliothèques externes : la dérivée formelle est résolue récursivement pour localiser les points critiques, une borne de Cauchy garantit que toutes les racines réelles se trouvent dans un intervalle connu, et chaque sous-intervalle avec changement de signe est raffiné par dichotomie puis itération de Newton jusqu'à ce que résidu et taille de pas tombent sous des seuils epsilon serrés.
Le bruit quasi-entier est nettoyé pour des goldens lisibles tandis que les irrationnels ordinaires tels que plus ou moins racine de deux gardent douze chiffres significatifs de précision.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et tutorat
Élèves et correcteurs confirment chaque racine réelle et multiplicité pour cubiques et quartiques sans installer d'algèbre informatique locale, avec erreurs claires pour un coefficient dominant zéro.
Générateurs de programme et d'évaluation
Des banques de problèmes automatisées génèrent des polynômes à racines entières aléatoires et vérifient la sortie du solveur contre cet oracle déterministe avant de publier des exercices.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si le coefficient dominant est zéro ?
Le degré n'est pas réduit en silence et l'appel échoué n'est pas facturé.
Renvoie-t-elle des racines complexes ?
Non. Seules les racines réelles sont renvoyées. Les paires conjuguées complexes non réelles sont omises par conception pour que la sortie corresponde aux intercepts de l'axe x et à la plupart des tâches de racines réelles de classe.
Comment les racines multiples sont-elles signalées ?
Par exemple (x − 1)² donne roots [1] avec multiplicities [2].
Avec quelle précision les racines irrationnelles sont-elles données ?
Les racines qui ne sont ni entières ni fractionnaires, comme plus ou moins la racine carrée de 2, sont affinées jusqu'à douze chiffres significatifs. Les racines entières et rationnelles sont d'abord cherchées de façon exacte.
Que renvoie un polynôme constant ?
Un polynôme constant non nul est de degré zéro et n'a aucune racine : la liste des racines reste vide. Il faut au moins un polynôme du premier degré pour qu'une racine puisse exister.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Coefficients, degré et ce que signifie « toutes les racines réelles »
Écrivez un polynôme univarié monique ou non monique comme a_n x à la n plus a_{n-1} x à la n-1 jusqu'à a_0. Le tableau d'entrée est exactement ces nombres dans cet ordre : la première entrée est le coefficient dominant a_n et la dernière le terme constant. Si le coefficient dominant est zéro la requête échoue avec invalid_input—le moteur ne supprime pas silencieusement les zéros dominants, de sorte que les appelants restent responsables de déclarer le degré prévu.
Comment le solveur combine le théorème des racines rationnelles avec le raffinement numérique
Tout le chemin est de l'arithmétique flottante pure—sans réseau, sans graines aléatoires, sans temps d'horloge—de sorte que les mêmes coefficients produisent toujours le même JSON. L'échec de validation, y compris un tableau de coefficients manquant ou un terme dominant zéro, lève invalid_input et n'est pas facturé.
Appeler l'API, lire la réponse, tarification et limites pratiques
Utilisez l'outil gratuit dans le navigateur pour des contrôles de devoirs ponctuels, des démos de cours et des tests rapides de santé sans installer Maxima, Mathematica ou une pile NumPy locale. Le degré est plafonné pour la sécurité d'isolement ; des magnitudes de coefficients extrêmement grandes peuvent souffrir d'annulation comme tout schéma en double précision, donc préférez des entrées de classe et d'ingénierie bien mises à l'échelle. Les entrées sources suivent les mêmes règles de conservation que les autres articles parse de KIT, et les échecs de validation ne consomment jamais le solde après le rejet du moteur. Envoyez un corps JSON avec le tableau coefficients obligatoire de nombres finis, degré le plus élevé d'abord ; l'alias coeffs est accepté pour la commodité. En cas de succès la réponse renvoie les coefficients nettoyés, le degré, une chaîne de polynôme lisible, les racines réelles distinctes triées, un tableau parallèle de multiplicities, des objets root_details structurés, le real_root_count distinct et une étiquette method documentant la stratégie rationnelle-plus-numérique. Utilisez l'API lorsqu'une plateforme de tutorat, un bac à sable d'évaluation de code, un générateur de programme ou un pipeline de données a besoin d'un contrat stable sous solde prépayé KIT à $0.002 par article réussi.
Cas d'intégration
Pipelines numériques légers
Des scripts qui ont besoin de racines réelles de polynômes résiduels de bas degré appellent un point de terminaison JSON stable au lieu de réimplémenter la recherche de racines rationnelles et le polissage de Newton dans chaque langage.
Questions techniques
Comment trouver des racines de polynômes avec cette API ?
Envoyez un JSON avec coefficients comme tableau degré le plus élevé d'abord (par exemple [1, -6, 11, -6] pour x³ − 6x² + 11x − 6). La réponse liste chaque racine réelle distincte avec multiplicité.
Le chercheur de racines de polynômes est-il gratuit ?
L'outil navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par article réussi ; les échecs de validation ne sont pas facturés.