Points de tangente horizontale
La courbe x^3 - 3x s’aplatit en (-1, 2) et en (1, -2), là où sa dérivée 3x^2 - 3 s’annule. Saisissez les coefficients de n’importe quel polynôme et obtenez tous les points réels à tangente horizontale, prêts à tracer. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Coefficients
- 1, 0, -3, 0
- Degré
- 3
- Polynôme
- x^3 - 3x
- Coefficients de la dérivée
- 3, 0, -3
- Ordre de la dérivée
- 2
Une tangente horizontale sur un graphe lisse est l’image géométrique d’un point critique : la pente instantanée est nulle, donc la dérivée de la fonction s’annule. Pour un polynôme univarié donné par ses coefficients, cette condition devient une seconde équation polynomiale d’un degré de moins, résoluble par recherche classique de racines sans logiciel de tracé ni système d’algèbre complet. Ce calculateur de points de tangente horizontale accepte la liste de coefficients du degré le plus élevé au plus bas, construit la dérivée formelle, trouve chaque racine réelle distincte de cette dérivée et renvoie les valeurs x ordonnées avec les hauteurs y égales à p de x, afin que vous puissiez tracer ou tabuler les points aussitôt.
Ce qu’une tangente horizontale signifie pour un polynôme
Une tangente en un point x0 a pour pente p prime de x0, donc la tangente est horizontale exactement lorsque p prime de x0 vaut zéro. Ces x0 sont les points critiques de p au sens du calcul différentiel : maxima locaux, minima locaux ou points d’inflexion horizontaux selon la dérivée seconde et le graphe voisin. Les racines complexes non réelles de la dérivée sont omises car un graphe dans le plan réel n’affiche que des abscisses réelles.
Les polynômes de degré un non constants ont une pente constante non nulle, donc la liste des solutions reste vide plutôt qu’inventée. Les constantes de degré zéro sont rejetées comme entrée invalide car le graphe est une droite horizontale et tout x conviendrait, ce qui n’est pas une liste finie de points. Le degré est plafonné pour que les workers isolés restent bornés tout en couvrant cubiques, quartiques et quintiques qui dominent le précalcul et les exercices de première année.
Comment le solveur trouve p′(x) = 0
Le polynôme dérivé résultant est nettoyé des zéros de tête dus aux annulations exactes, mis en forme pour l’affichage, puis passé à un pipeline déterministe de racines réelles. Lorsque chaque coefficient est proche d’un entier, le théorème des racines rationnelles fournit un ensemble fini de candidats ; les coups sont retirés par division synthétique pour que multiplicités et facteurs résiduels se réduisent vite. Les résidus linéaires se résolvent par division ; les résidus quadratiques utilisent la formule du discriminant et ne gardent que les racines réelles.
Les degrés résiduels supérieurs sont isolés sans bibliothèques externes en localisant récursivement les points critiques du résidu, en appliquant une borne de magnitude de Cauchy, en bissectant les intervalles à changement de signe et en peaufinant avec Newton jusqu’à ce que résidu et pas passent sous des seuils epsilon stricts. Le champ formula reformule le contrat géométrique en une ligne pour les légendes d’interface et le retour LMS.
Cas d’usage
Devoirs de calcul et vérification des points critiques
Les étudiants saisissent les coefficients polynomiaux et vérifient chaque x réel où la tangente est horizontale face au travail manuel avec la règle de puissance et la factorisation.
Banques d’examens et notation automatique LMS
Générez des cubiques et quartiques à points critiques connus et notez les rendus contre cet oracle déterministe p′(x)=0 plutôt qu’un appariement de chaînes fragile.
Carnets et scripts légers de conception
Repérez les paliers plats sur des courbes de réponse de bas degré dans des modèles de calibration ou de coût sans importer un package d’algèbre symbolique complet dans le pipeline.
Questions fréquentes
Comment trouver les points de tangente horizontale d’un polynôme ?
Envoyez coefficients du degré le plus élevé d’abord (par exemple [1, 0, -3, 0] pour x³ − 3x).
Que signifie une tangente horizontale ?
La tangente en x a une pente nulle, donc p′(x)=0. Ces abscisses sont les points critiques réels du polynôme sur la droite réelle.
Pourquoi les polynômes constants sont-ils rejetés ?
Un graphe constant est lui-même une droite horizontale, donc tout x conviendrait. Le solveur exige un polynôme non constant et renvoie une liste finie de points où p′ s’annule.
Quels sont les points à tangente horizontale de x^3 - 3x ?
La dérivée vaut 3x^2 - 3 et s’annule en -1 et en 1. Les hauteurs correspondantes sont 2 et -2 : la courbe est donc plate en (-1, 2) et en (1, -2).
Pourquoi une droite ne donne-t-elle aucun point ?
Un polynôme de degré un a partout la même pente non nulle, sa tangente n’est donc jamais horizontale. Le calculateur renvoie une liste vide au lieu d’inventer un point qui n’existe pas.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
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Endpoint
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curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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body: JSON.stringify({
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0,
-3,
0
]
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.tangent_horizontal_points",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce qu’une tangente horizontale signifie pour un polynôme
Écrivez un polynôme comme p de x égal à a_n x à la n plus a indice n moins un fois x à la n moins un jusqu’au terme constant a_0. La dérivée p prime est la règle formelle terme à terme n a_n x à la n moins un et ainsi de suite ; aucun passage à la limite n’est calculé à l’exécution car les polynômes sont lisses partout. La multiplicité se réduit à un seul x listé : une inflexion plate de multiplicité deux n’apparaît qu’une fois dans le tableau x_values, ce que les workflows de tracé et de tables de valeurs attendent en général.
Comment le solveur trouve p′(x) = 0
Après validation d’un tableau de coefficients non vide à terme dominant non nul, le moteur dérive dans l’ordre du degré le plus élevé d’abord : chaque coefficient a_k de x à la k devient k a_k de x à la k moins un. Le bruit quasi entier est arrondi pour des goldens JSON stables entre runtimes. Le tableau final x_values est trié par ordre croissant et dédupliqué ; chaque y correspondant est p évalué par la méthode de Horner, afin que les clients reçoivent des paires de points complètes sans recalculer le polynôme d’origine.
Contrat d’entrée, forme de réponse et place de l’API
Exemple : un, zéro, moins trois, zéro représente x cube moins trois x, dont la dérivée trois x carré moins trois s’annule en x égal à moins un et x égal à un, avec des y valant deux et moins deux respectivement. Utilisez l’outil gratuit dans le navigateur pour des contrôles ponctuels de devoirs et des démos de cours sans installer Maxima ni une pile NumPy locale. Associez les tableaux x et y à votre propre traceur si vous avez besoin d’un croquis de la courbe et de ses tangentes horizontales : ce point d’accès ne résout que les points. Envoyez un corps JSON avec le tableau obligatoire coefficients de nombres finis, degré le plus élevé d’abord ; l’alias coeffs est accepté par commodité. En cas de succès la réponse renvoie les coefficients nettoyés, degree, une chaîne lisible du polynôme, derivative_coefficients, derivative_degree, une chaîne d’affichage de la dérivée, x_values triés, y_values parallèles, point_count et l’étiquette formula. Champs manquants, entrées non finies, coefficient dominant nul, degré au-dessus du plafond de sécurité ou polynôme constant échouent avec invalid_input et ne sont pas facturés. Utilisez l’API lorsqu’une plateforme de tutorat, un bac d’évaluation de code, un générateur de programme ou un pipeline de carnets a besoin d’un contrat stable sous solde prépayé KIT à $0.002 par élément réussi.
Questions techniques
Un polynôme linéaire peut-il avoir une tangente horizontale ?
Seulement s’il est en fait constant. Un polynôme linéaire non constant a une pente constante non nulle, donc point_count vaut zéro et x_values est vide.
Quel est le coût du calculateur de points de tangente horizontale ?
L’outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n’est pas facturée.