Pontos de tangente horizontal
A curva x^3 - 3x fica plana em (-1, 2) e em (1, -2), onde a derivada 3x^2 - 3 vale zero. Digite os coeficientes de qualquer polinômio e receba todos os pontos reais com tangente horizontal, prontos para o gráfico. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Coeficientes
- 1, 0, -3, 0
- Grau
- 3
- Polinômio
- x^3 - 3x
- Coeficientes da derivada
- 3, 0, -3
- Ordem da derivada
- 2
Uma reta tangente horizontal em um gráfico suave é a imagem geométrica de um ponto crítico: a inclinação instantânea é zero, de modo que a derivada da função se anula. Para um polinômio univariado dado pelos seus coeficientes, essa condição vira uma segunda equação polinomial de grau um a menos que pode ser resolvida com busca clássica de raízes, sem software de gráficos nem um sistema completo de álgebra computacional. Esta calculadora de pontos de tangente horizontal aceita a lista de coeficientes do grau mais alto ao mais baixo, constrói a derivada formal, encontra cada raiz real distinta dessa derivada e devolve os valores de x ordenados junto com as alturas y iguais a p de x, para que você possa plotar ou tabular os pontos de imediato.
O que uma tangente horizontal significa para um polinômio
Uma reta tangente em um ponto x0 tem inclinação p linha de x0, de modo que a tangente é horizontal exatamente quando p linha de x0 vale zero. Esses x0 são os pontos críticos de p no sentido do cálculo: máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão horizontais conforme a segunda derivada e o gráfico ao redor. Raízes complexas não reais da derivada são omitidas porque um gráfico no plano real só mostra abscissas reais.
Polinômios de grau um não constantes têm inclinação constante não nula, então a lista de soluções fica vazia em vez de inventada. Constantes de grau zero são rejeitadas como entrada inválida porque o gráfico é uma reta horizontal e todo x qualificaria, o que não é uma lista finita de pontos. O grau é limitado para que workers isolados permaneçam limitados e ainda cubram cúbicos, quárticos e quínticos que dominam pré-cálculo e listas de primeiro ano.
Como o solucionador encontra p′(x) = 0
O polinômio derivada resultante é limpo de zeros iniciais por cancelamento exato, formatado para exibição e enviado a um pipeline determinístico de raízes reais. Quando todos os coeficientes estão perto de um inteiro, o teorema da raiz racional fornece um conjunto finito de candidatos; acertos são removidos com divisão sintética para que multiplicidades e fatores residuais encolham rápido. Residuais lineares resolvem por divisão; residuais quadráticos usam a fórmula do discriminante e mantêm só raízes reais.
Graus residuais maiores são isolados sem bibliotecas externas localizando recursivamente pontos críticos do residual, aplicando um limite de magnitude de Cauchy, bissectando intervalos com troca de sinal e polindo com Newton até residual e tamanho do passo caírem abaixo de limiares epsilon rígidos. O campo formula reafirma o contrato geométrico em uma linha para legendas de UI e feedback de LMS.
Casos de uso
Lições de cálculo e checagem de pontos críticos
Alunos inserem coeficientes polinomiais e verificam cada x real em que a tangente é horizontal confrontando o trabalho manual com a regra da potência e a fatoração.
Bancos de prova e correção automática em LMS
Gere cúbicos e quárticos com pontos críticos conhecidos e corrija entregas contra este oráculo determinístico p′(x)=0 em vez de casamento frágil de strings.
Notebooks e scripts leves de projeto
Localize trechos planos em curvas de resposta de baixo grau em modelos de calibração ou custo sem puxar um pacote completo de álgebra simbólica para o pipeline.
Perguntas frequentes
Como encontro pontos de tangente horizontal de um polinômio?
Envie coefficients do grau mais alto primeiro (por exemplo [1, 0, -3, 0] para x³ − 3x).
O que significa uma tangente horizontal?
A reta tangente em x tem inclinação zero, então p′(x)=0. Essas abscissas são os pontos críticos reais do polinômio sobre a reta real.
Por que polinômios constantes são rejeitados?
Um gráfico constante é em si uma reta horizontal, de modo que todo x qualificaria. O solucionador exige um polinômio não constante e devolve uma lista finita de pontos onde p′ se anula.
Quais são os pontos de tangente horizontal de x^3 - 3x?
A derivada é 3x^2 - 3, que se anula em -1 e em 1. As alturas correspondentes são 2 e -2, então a curva fica plana em (-1, 2) e em (1, -2).
Por que uma reta não gera nenhum ponto?
Um polinômio de grau um tem a mesma inclinação diferente de zero em todo lugar, então sua tangente nunca é horizontal. A calculadora devolve uma lista vazia em vez de inventar um ponto.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.tangent_horizontal_points",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que uma tangente horizontal significa para um polinômio
Escreva um polinômio como p de x igual a a_n x à n mais a sub n menos um vezes x à n menos um até o termo constante a_0. A derivada p linha é a regra formal termo a termo n a_n x à n menos um e assim por diante; em tempo de execução não se tomam limites porque polinômios são suaves em todo lugar. A multiplicidade colapsa em um único x listado: uma inflexão plana que toca com multiplicidade dois ainda aparece uma vez no array x_values, o que fluxos de gráfico e tabelas de valores costumam querer.
Como o solucionador encontra p′(x) = 0
Depois de validar um array de coeficientes não vazio com termo líder não nulo, o motor deriva na ordem do grau mais alto primeiro: cada coeficiente a_k de x à k vira k a_k de x à k menos um. Ruído quase inteiro é arredondado para goldens JSON estáveis entre runtimes. O array final x_values é ordenado de forma ascendente e deduplicado; cada y correspondente é p avaliado pelo método de Horner, para que clientes recebam pares de pontos completos sem recomputar o polinômio original.
Contrato de entrada, forma da resposta e onde a API se encaixa
Exemplo: um, zero, menos três, zero representa x ao cubo menos três x, cuja derivada três x ao quadrado menos três se anula em x igual a menos um e x igual a um, com valores y dois e menos dois respectivamente. Use a ferramenta gratuita no navegador para checagens pontuais de lição e demos de aula sem instalar Maxima nem uma pilha local de NumPy. Envie um corpo JSON com o array obrigatório coefficients de números finitos, grau mais alto primeiro; o alias coeffs é aceito por conveniência. Em caso de sucesso a resposta ecoa coeficientes limpos, degree, uma string legível do polinômio, derivative_coefficients, derivative_degree, uma string de exibição da derivada, x_values ordenados, y_values paralelos, point_count e o rótulo formula. Campos ausentes, entradas não finitas, coeficiente líder zero, grau acima do teto de segurança ou polinômio constante falham com invalid_input e não são cobrados. Use a API quando uma plataforma de tutoria, sandbox de avaliação de código, gerador de currículo ou pipeline de notebooks precisar de um contrato estável sob saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por item bem-sucedido. Combine os arrays x e y com seu próprio plotter se precisar de um esboço da curva e de suas tangentes horizontais: este endpoint resolve apenas os pontos.
Perguntas técnicas
Um polinômio linear pode ter tangente horizontal?
Somente se for de fato constante. Um polinômio linear não constante tem inclinação constante não nula, então point_count é zero e x_values está vazio.
Quanto custa a calculadora de pontos de tangente horizontal?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.