Punti di tangente orizzontale
La curva x^3 - 3x si appiattisce in (-1, 2) e in (1, -2), dove la derivata 3x^2 - 3 vale zero. Inserisca i coefficienti di qualsiasi polinomio e ottenga tutti i punti reali con tangente orizzontale, pronti da tracciare. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Coefficienti
- 1, 0, -3, 0
- Grado
- 3
- Polinomio
- x^3 - 3x
- Coefficienti della derivata
- 3, 0, -3
- Ordine della derivata
- 2
Una retta tangente orizzontale su un grafico liscio è l’immagine geometrica di un punto critico: la pendenza istantanea è zero, quindi la derivata della funzione si annulla. Per un polinomio univariato dato dai suoi coefficienti, tale condizione diventa una seconda equazione polinomiale di un grado inferiore risolvibile con ricerca classica delle radici, senza software di grafici né un intero sistema di algebra computazionale. Questo calcolatore di punti di tangente orizzontale accetta l’elenco dei coefficienti dal grado più alto al più basso, costruisce la derivata formale, trova ogni radice reale distinta di quella derivata e restituisce i valori di x ordinati insieme alle altezze y uguali a p di x, così Lei può tracciare o tabulare i punti subito.
Cosa significa una tangente orizzontale per un polinomio
Una retta tangente in un punto x0 ha pendenza p primo di x0, quindi la tangente è orizzontale esattamente quando p primo di x0 vale zero. Quegli x0 sono i punti critici di p nel senso del calcolo: massimi locali, minimi locali o flessi orizzontali a seconda della derivata seconda e del grafico circostante. Le radici complesse non reali della derivata sono omesse perché un grafico nel piano reale mostra solo ascisse reali.
I polinomi di grado uno non costanti hanno pendenza costante non nulla, quindi l’elenco delle soluzioni resta vuoto invece di inventare radici. Le costanti di grado zero sono rifiutate come input non valido perché il grafico è una retta orizzontale e ogni x qualificherebbe, il che non è un elenco finito di punti. Il grado è limitato così i worker isolati restano limitati coprendo comunque cubici, quartici e quintici che dominano precalcolo e esercizi del primo anno.
Come il risolutore trova p′(x) = 0
Il polinomio derivata risultante è ripulito dagli zeri iniziali da cancellazione esatta, formattato per la visualizzazione e passato a una pipeline deterministica di radici reali. Quando ogni coefficiente è vicino a un intero, il teorema delle radici razionali fornisce un insieme finito di candidati; i colpi si rimuovono con divisione sintetica così molteplicità e fattori residuali si riducono in fretta. I residuali lineari si risolvono per divisione; i residuali quadratici usano la formula del discriminante e tengono solo radici reali.
I gradi residuali superiori si isolano senza librerie esterne individuando ricorsivamente i punti critici del residuale, applicando un bound di magnitudine di Cauchy, bisezionando intervalli con cambio di segno e raffinando con Newton finché residuale e passo scendono sotto soglie epsilon strette. Il campo formula riafferma il contratto geometrico in una riga per didascalie UI e feedback LMS.
Casi d'uso
Compiti di calcolo e controllo dei punti critici
Gli studenti inseriscono i coefficienti polinomiali e verificano ogni x reale in cui la tangente è orizzontale confrontando il lavoro a mano con la regola della potenza e la fattorizzazione.
Banche d’esame e correzione automatica LMS
Generi cubici e quartici con punti critici noti e valuti le consegne contro questo oracolo deterministico p′(x)=0 invece di un fragile confronto di stringhe.
Notebook e script leggeri di progettazione
Individui tratti piatti su curve di risposta a basso grado in modelli di calibrazione o costo senza introdurre un intero pacchetto di algebra simbolica nella pipeline.
Domande frequenti
Come trovo i punti di tangente orizzontale di un polinomio?
Invii coefficients dal grado più alto per primo (ad esempio [1, 0, -3, 0] per x³ − 3x).
Cosa significa una tangente orizzontale?
La retta tangente in x ha pendenza zero, quindi p′(x)=0. Quelle ascisse sono i punti critici reali del polinomio sulla retta reale.
Perché i polinomi costanti vengono rifiutati?
Un grafico costante è di per sé una retta orizzontale, quindi ogni x qualificherebbe. Il risolutore richiede un polinomio non costante e restituisce un elenco finito di punti dove p′ si annulla.
Quali sono i punti di tangente orizzontale di x^3 - 3x?
La derivata è 3x^2 - 3, che si annulla in -1 e in 1. Le altezze corrispondenti sono 2 e -2, quindi la curva è piatta in (-1, 2) e in (1, -2).
Perché una retta non dà alcun punto?
Un polinomio di grado uno ha ovunque la stessa pendenza diversa da zero, quindi la sua tangente non è mai orizzontale. Il calcolatore restituisce un elenco vuoto invece di inventare un punto.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", {
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0,
-3,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.tangent_horizontal_points",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa significa una tangente orizzontale per un polinomio
Scriva un polinomio come p di x uguale a a_n x alla n più a sub n meno uno per x alla n meno uno fino al termine costante a_0. La derivata p primo è la regola formale termine a termine n a_n x alla n meno uno e così via; a runtime non si calcolano limiti perché i polinomi sono lisci ovunque. La molteplicità si collassa in un solo x elencato: un flesso piatto di molteplicità due compare comunque una sola volta nell’array x_values, come di solito richiedono grafici e tabelle di valori.
Come il risolutore trova p′(x) = 0
Dopo aver convalidato un array di coefficienti non vuoto con termine leader non nullo, il motore deriva nell’ordine del grado più alto per primo: ogni coefficiente a_k di x alla k diventa k a_k di x alla k meno uno. L’array finale x_values è ordinato in modo crescente e deduplicato; ogni y corrispondente è p valutato col metodo di Horner, così i client ricevono coppie di punti complete senza ricalcolare il polinomio originale.
Contratto di input, forma della risposta e dove entra l’API
Esempio: uno, zero, meno tre, zero rappresenta x al cubo meno tre x, la cui derivata tre x al quadrato meno tre si annulla in x uguale a meno uno e x uguale a uno, con y pari a due e meno due rispettivamente. Usi lo strumento gratuito nel browser per controlli puntuali di compiti e demo di lezione senza installare Maxima né uno stack locale NumPy. Invii un corpo JSON con l’array obbligatorio coefficients di numeri finiti, grado più alto per primo; l’alias coeffs è accettato per comodità. In caso di successo la risposta ripete coefficienti puliti, degree, una stringa leggibile del polinomio, derivative_coefficients, derivative_degree, una stringa di visualizzazione della derivata, x_values ordinati, y_values paralleli, point_count e l’etichetta formula. Campi mancanti, voci non finite, coefficiente leader zero, grado oltre il tetto di sicurezza o polinomio costante falliscono con invalid_input e non sono addebitati. Usi l’API quando una piattaforma di tutoraggio, un sandbox di valutazione del codice, un generatore di curriculum o una pipeline di notebook necessita di un contratto stabile sotto saldo prepagato KIT a $0.002 per elemento riuscito. Abbini gli array x e y al Suo tracciatore se serve uno schizzo della curva e delle sue tangenti orizzontali: questo endpoint risolve solo i punti.
Domande tecniche
Un polinomio lineare può avere tangente orizzontale?
Solo se in realtà è costante. Un polinomio lineare non costante ha pendenza costante non nulla, quindi point_count è zero e x_values è vuoto.
Quanto costa il calcolatore di punti di tangente orizzontale?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l’input non valido non viene addebitato.