水平接線の点計算機
曲線 x^3 - 3x は (-1, 2) と (1, -2) で水平になり、そこで導関数 3x^2 - 3 が 0 になります。任意の多項式の係数を入力すると、接線が水平になる実数の点がすべて分かり、そのままグラフや表に使えます。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 係数
- 1, 0, -3, 0
- 次数
- 3
- 多項式
- x^3 - 3x
- 導関数の係数
- 3, 0, -3
- 導関数の階数
- 2
滑らかなグラフ上の水平接線は臨界点の幾何学的な姿です。瞬間の傾きがゼロなので、関数の導関数が消えます。係数で与えられた一変数多項式では、この条件は次数が一つ低い第二の多項式方程式になり、グラフソフトや大規模な計算機代数系ではなく古典的な根の探索で解けます。この水平接線点計算機は最高次が先の係数リストを受け取り、形式的な導関数を作り、その導関数の相異なる実根をすべて求め、順序付きの x と y が p の x に等しい高さとを返します。すぐに点をプロットしたり表にしたりできます。授業の確認、チュータリング基盤、試験ジェネレータ、軽い工学ノートブックは同じ係数に同じ決定的な答えを必要とします。
多項式にとって水平接線が意味すること
多項式は至る所で滑らかだからです。点 x0 での接線の傾きは p プライムの x0 なので、p プライムの x0 がゼロのときちょうど接線は水平です。それらの x0 は解析学の意味での p の臨界点で、二次導関数と周囲のグラフに応じて局所最大・局所最小・水平な変曲点になります。
導関数の非実複素根は省略します。実平面のグラフは実の横座標だけを示すためです。重複度は一つの列挙 x にまとめます。
一次の非定数多項式は非ゼロの定数傾きなので、解リストは空のままです。次数ゼロの定数は無効入力として拒否します。グラフ自体が水平線でどの x も当てはまり、有限の点リストにならないためです。
次数には上限があり、隔離ワーカーの負荷を抑えつつ、予科と一年次問題の中心である三次・四次・五次を十分にカバーします。
ソルバーが p′(x) = 0 を求める方法
先頭係数が非ゼロの空でない係数配列を検証したあと、エンジンは最高次が先の順で微分します。得られた導関数多項式は完全な打ち消しによる先頭ゼロを除き、表示用に整形し、決定的な実根パイプラインへ渡します。係数がすべて整数に近いときは有理根定理が有限の候補集合を与え、ヒットは組み立て除法で取り除き、重複度と残余因子を素早く縮めます。
一次残余は除算で解き、二次残余は判別式公式を使い実根だけを残します。より高い残余次数は外部ライブラリなしで、残余の臨界点を再帰的に探し、コーシー型の大きさの境界を当て、符号変化区間を二分し、ニュートンで磨いて残差と刻み幅が厳しいイプシロン閾値を下回るまで続けます。
係数の入れ方と結果の読み方
別名 coeffs も便宜上受け付けます。例として 1, 0, -3, 0 は x の三乗から 3x を引いた式で、導関数 3x の二乗マイナス 3 は x が -1 と 1 で消え、y はそれぞれ 2 と -2 です。一度きりの宿題確認や講義デモには、Maxima やローカル NumPy スタックを入れずに無料のブラウザツールをご利用ください。
結果は完全に決定的で CI フィクスチャに固定して安全です。検証失敗は残高を消費しません。曲線とその水平接線のスケッチが必要なら、ご自身のプロッタに x と y の配列を組み合わせてください。
活用例
微積分の宿題と臨界点の確認
学習者が多項式の係数を入力し、接線が水平になるすべての実数 x を、べき乗則と因数分解による手計算と照合します。
試験バンクと LMS 自動採点
既知の臨界点を持つ三次・四次式を生成し、脆い文字列一致ではなく決定的な p′(x)=0 オラクルで提出を採点します。
ノートブックと軽い設計スクリプト
校正やコストモデルの低次数応答曲線上の平坦部を、完全な記号代数パッケージをパイプラインに入れずに特定します。
よくある質問
多項式の水平接線点はどのように求めますか？
coefficients を最高次が先で送ってください（例：x³ − 3x なら [1, 0, -3, 0]）。
水平接線とは何ですか？
x における接線の傾きがゼロ、つまり p′(x)=0 です。それらの横座標は実直線上の多項式の実臨界点です。
なぜ定数多項式は拒否されますか？
定数グラフ自体が水平線なので、すべての x が該当します。ソルバーは非定数多項式を要求し、p′ が消える有限の点リストを返します。
x^3 - 3x の水平接線点はどこですか？
導関数は 3x^2 - 3 で、-1 と 1 で 0 になります。そのときの高さは 2 と -2 なので、曲線は (-1, 2) と (1, -2) で水平になります。
直線では点が1つも出ないのはなぜですか？
1次の多項式はどこでも同じ0でない傾きを持つため、接線が水平になることはありません。存在しない点を作り出さず、空の一覧を返します。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.tangent_horizontal_points",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
多項式にとって水平接線が意味すること
多項式を p の x が a_n の x の n 乗に a 下付き n マイナス 1 かける x の n マイナス 1 乗、定数項 a_0 までと書いてください。導関数 p プライムは形式的な項ごと規則で n a_n の x の n マイナス 1 乗などとなり、実行時に極限は取りません。重複度 2 で触れる平坦な変曲点でも x_values 配列には一度だけ現れ、グラフや数値表の流れが通常求める形です。
ソルバーが p′(x) = 0 を求める方法
x の k 乗の係数 a_k は k a_k の x の k マイナス 1 乗になります。最終の x_values 配列は昇順に並べ重複を除き、対応する各 y はホーナー法で評価した p なので、クライアントは元の多項式を再計算せず完全な点の対を受け取ります。formula フィールドは UI キャプションと LMS フィードバック用に幾何学的契約を一行で再述します。
入力契約・応答形・API の位置づけ
有限数の必須配列 coefficients を最高次が先で JSON 本体として送ってください。成功時は清掃済み係数、degree、読みやすい多項式文字列、derivative_coefficients、derivative_degree、導関数の表示文字列、並べた x_values、並列の y_values、point_count、formula ラベルを返します。欠落フィールド、非有限値、先頭係数ゼロ、安全上限を超える次数、定数多項式は invalid_input で失敗し課金されません。チュータリング基盤、コーディング評価サンドボックス、教材生成、ノートブックパイプラインが前払い KIT 残高 $0.002 ごとの成功項目で安定契約を必要とするときは API を使います。このエンドポイントは点だけを解きます。
技術的な質問
一次多項式に水平接線はありますか？
実際に定数である場合だけです。非定数の一次多項式は非ゼロの定数傾きなので、point_count は 0、x_values は空です。
水平接線点計算機の料金は？
ブラウザツールは無料です。API リクエストは成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高 $0.002 を使い、無効入力は課金されません。