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差分商の計算機

多項式の係数を入力すると [f(x+h)−f(x)]/h を簡約した形が分かります。f(x) = x² なら 2x + h となり、h を0に近づけると導関数 2x が残ります。ブラウザで無料で使えます。

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関数 f の差分商とは、x における f に h を加えた値から x における f を引き、その結果を h で割った古典的な式です。これは点 (x, f(x)) と (x+h, f(x+h)) を通る割線の傾きであり、h が零に近づく極限で導関数 f のプライム（f′(x)）となる代数的な対象でもあります。プレカルキュラスや微積分の学習者、試験の模範解答を作る指導者、宿題を生成する自動化スクリプトは、多項式 f についてその式を展開し、共通因子 h を打ち消して、評価や極限に使える簡約形を得る決定的な手段を必要とします。本差分商計算機は、定数項を先頭にした一変数多項式の係数を受け取り、二項定理で f(x+h) を展開し、f(x) を引き、記号的に h で割り、x と h のきれいな二変数多項式と、h を零にしたときの導関数を返します。

差分商とは何か、多項式がどう簡約されるか

定義上、差分商は分子が x における f に h を加えたものから x における f を引いた差、分母が h である代数的な分数です。任意の関数では分子が h の明らかな因子を共有しないこともありますが、多項式では各冪 (x+h) の k 乗が二項定理により C(k,j) に x の k から j を引いた冪と h の j 乗を掛けた項の和に展開されます。

x の k 乗を引くと j が零の項が消え、残る各加項は h の正の冪を持ちます。差全体を h で割ると各 h の冪が一つ下がり、割り算の残らない x と h の二変数多項式式が得られます。その二変数多項式こそ、本機能が返す簡約された差分商です。

h が零に近づく極限をとると、なお h の正の冪を掛ける項はすべて落ち、通常の導関数 f′(x) が x の一変数多項式として残ります。教室の定番例として、f(x) が x の二乗なら 2x + h に簡約され、f(x) が x の三乗なら 3x² + 3xh + h² に簡約され、どちらも極限でなじみの冪乗則を再現します。

定数多項式は零の差分商と零の導関数を生み、水平なグラフがあらゆる h で割線の傾き零であるという幾何学的事実と一致します。

差分商が役立つ場面

プレカルキュラスや微積分の講座では、新しい多項式族のほぼすべてに差分商の簡約問題が出ます。決定的なオラクルがあれば、学習者は手で極限をとる前に打ち消し後の形を検算できます。試験生成や学習管理のプラグインは、本格的な計算機代数系を立ち上げずに、任意の係数ベクトルに対する既知の簡約式と導関数極限を必要とします。

多項式から数値微分を作る工学ノートでは、記号的に簡約した式を具体的な h で評価し、前進差分と丸めの範囲で一致することを主張できます。二項積が有限のままになるよう、次数と係数の大きさは公開範囲内に保ってください。

本ランディングは差分商計算機、f(x+h)−f(x) を h で割った式の簡約、オンラインの多項式割線傾きを探す人向けであり、有理関数や超越関数の一般 CAS、浮動小数だけを標本化する数値導関数推定器、多項式を超えた完全な記号極限エンジンではありません。検証失敗は前払い残高を消費しないため、学習者が意図的に係数を省く探索スクリプトのコストを低く保てます。

活用例

差分商の宿題検算

学習者が教科書の多項式係数を入力し、簡約した二変数形と導関数の極限を手計算の展開と照合してから微積分の提出を行います。

試験・LMS 自動採点のオラクル

既知の [f(x+h)−f(x)]/h 簡約と、係数欠落の意図的な拒否を多肢選択の正解や継続的インテグレーションのフィクスチャ向けに生成します。

有限差分を検証するノートブック

簡約式を具体的な h で評価し、CAS を取り込まずに同じ多項式の数値前進差分との一致を確認します。

よくある質問

関数 f の差分商とは何ですか？

[f(x+h) − f(x)] / h であり、(x, f(x)) と (x+h, f(x+h)) を通る割線の傾きです。多項式では本ツールが展開して h を打ち消し、x と h の簡約式を返します。

多項式はどのように送りますか？

定数項を先頭にした空でない配列として coeffs を送ってください。[2, −3, 1] は 2 − 3x + x² を意味します。最大長は 33（次数 ≤ 32）。

coeffs が欠落または空の場合はどうなりますか？

空は零多項式とは扱われず、欠落データは拒否され課金されません。

x の3乗の差分商はどうなりますか？

f(x) = x³ の場合、3x² + 3xh + h² に簡約されます。h を0に近づけると後ろの2つの項が消え、べき乗の法則どおり 3x² が残ります。

差分商から導関数を求めるにはどうしますか？

h を含む項をすべて取り除きます。f(x) = x² の 2x + h なら導関数は 2x です。計算機は簡約した形と並べてこの導関数も表示します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coeffs":[0,0,1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coeffs": [
      0,
      0,
      1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coeffs": [
        0,
        0,
        1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coeffs":[0,0,1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coeffs":[0,0,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "coeffs": [
    0,
    0,
    1
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.difference_quotient",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

入力契約、応答フィールド、検証エラー

配列長は最大三十三要素とし、形式次数が最大三十二になるようにして、通常の倍精度で二項係数が正確に保たれるようにします。係数の絶対値は一兆以内に収めてください。必須フィールドは一つです。JSON 本体に coeffs として、定数項を先頭にした f の係数の空でない有限数配列を送ってください。同じ配列に対し aliases の coefficients、f、poly、polynomial も受け付けます。厳密な有限数値パターンに合う文字列の数や JSON 符号化された配列文字列も受け付けます。成功時の応答は、丸めた coeffs と形式次数、読みやすいコンパクト多項式 f_str、ご指定の f で定義を再掲する difference_quotient_raw、x と h の打ち消し済み二変数式 simplified、power_x・power_h・coefficient を持つオブジェクトの順序付きリスト simplified_terms、極限文字列としての導関数 derivative、定数項先頭の導関数係数 derivative_coeffs、構成の短い英語再掲 formula を返します。coeffs 欠落、空の係数配列、配列以外、非有限値、公開上限を超える長さ、絶対制限外の値、非有限の中間累積はすべて invalid_input で失敗し、課金されません。料金は成功リクエストごとに定額の $0.002、単位は item です。

差分商 API が役立つ場面

クライアントを制御できる場合は本物の JSON 配列を優先してください。f(x) が x の二乗のような成功例と、coeffs 欠落または空の意図的な失敗を組み合わせ、invalid_input の厳しい経路を文書化してください。

技術的な質問

f(x) = x² のとき simplified は何を返しますか？

簡約された差分商は 2x + h です。h → 0 とすると導関数 2x が得られ、derivative と derivative_coeffs フィールドにも現れます。

差分商計算機の料金はいくらですか？

ブラウザ版は無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効な入力は課金されません。

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