حاسبة حاصل فرق التفاضل
أدخلوا معاملات كثير الحدود لتحصلوا على [f(x+h)−f(x)]/h مبسّطًا: عند f(x) = x² يصبح 2x + h، وعندما تقترب h من الصفر تبقى المشتقة 2x. مجانًا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
حاصل فرق التفاضل لدالة f هو التعبير الكلاسيكي f عند x زائد h ناقص f عند x، الكل مقسوم على h. وهو ميل القاطع المار بالنقطتين (x, f(x)) و(x+h, f(x+h))، وهو الكائن الجبري الذي يصبح نهايته عندما يقترب h من الصفر المشتقة f شرطة عند x. يحتاج طلاب ما قبل التفاضل والتكامل، والمدرّسون الذين يعدّون مفاتيح الامتحانات، والسكربتات الآلية التي تولّد الواجبات إلى طريقة حتمية لتوسيع ذلك التعبير لكثير حدود f وإلغاء العامل المشترك h بحيث تصبح الصيغة المبسّطة جاهزة للتقييم أو لأخذ النهاية. تقبل حاسبة حاصل فرق التفاضل هذه معاملات كثير حدود بمتغير واحد مع الحد الثابت أولاً، وتوسّع f(x+h) بنظرية ذات الحدين، وتطرح f(x)، وتقسم رمزيًا على h، وتعيد كثير حدود ثنائي المتغيرات نظيفًا في x وh مع المشتقة الناتجة بوضع h مساويًا للصفر.
ما حاصل فرق التفاضل وكيف تُبسَّط كثيرات الحدود
تعريفًا، حاصل فرق التفاضل هو الكسر الجبري الذي بسطه f عند x زائد h ناقص f عند x ومقامه h. لدالة اختيارية قد لا يشترك البسط في عامل h واضح، أما لكثير حدود فكل قوة (x+h) إلى k تتوسع بنظرية ذات الحدين إلى مجموع حدود C(k,j) مضروبًا في x إلى k ناقص j مضروبًا في h إلى j. طرح x إلى k يلغي الحد j المساوي للصفر، فيحمل كل حد متبقٍّ قوة موجبة من h.
قسمة الفرق كله على h تخفض كل قوة من h بمقدار واحد وتنتج تعبيرًا كثير حدود في المتغيرين x وh بلا قسمة متبقية. ذلك الكثير ثنائي المتغيرات هو بالضبط حاصل فرق التفاضل المبسّط الذي تعيده هذه القدرة. أخذ النهاية عندما يقترب h من الصفر يحذف كل حد ما زال يضرب قوة موجبة من h، فيترك المشتقة العادية f شرطة عند x ككثير حدود بمتغير واحد في x.
أمثلة الصف تشمل f عند x مساوية ل x تربيع، فتتبسّط إلى اثنين x زائد h، وf عند x مساوية ل x تكعيب فتتبسّط إلى ثلاثة x تربيع زائد ثلاثة x h زائد h تربيع؛ وكلتا النهايتين تستعيدان قاعدة القوة المألوفة. كثيرات الحدود الثابتة تنتج حاصل فرق صفريًا ومشتقة صفرية، بما يتوافق مع حقيقة هندسية أن الرسم الأفقي له ميل قاطع صفر لكل h.
أين تثبت واجهة حاصل فرق التفاضل قيمتها
تفرض مقررات ما قبل التفاضل والتكامل تمارين تبسيط حاصل فرق التفاضل على كل عائلة جديدة تقريبًا من كثيرات الحدود؛ ويسمح وحي حتمي للمتعلمين بالتحقق من الشكل الملغى قبل أخذ النهاية يدويًا. تحتاج مولّدات الامتحانات وإضافات إدارة التعلم إلى تعبيرات مبسّطة معروفة ونهايات مشتقة لمتجهات معاملات اعتباطية دون إقامة نظام جبر حاسوبي كامل. يستفيد المدرّسون ومواقع المحتوى التي تتصدر بحث حاسبة حاصل فرق التفاضل من أداة حية يطابق مسارها المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها.
دفاتر الهندسة التي تكوّن مشتقات عددية من كثيرات الحدود يمكنها الجزم بأن الشكل الرمزي المبسّط، مقيَّمًا عند h ملموس، يوافق فرقًا محدودًا أماميًا ضمن التقريب. حافظوا على الدرجة ومقادير المعاملات ضمن الحدود المنشورة لتبقى نواتج ذات الحدين منتهية.
تستهدف هذه الصفحة من يبحث عن حاسبة حاصل فرق التفاضل، أو تبسيط f عند x زائد h ناقص f عند x على h، أو ميل قاطع كثير حدود عبر الإنترنت؛ وليست CAS عامًا ل f كسرية أو متسامية، ولا مقدّر مشتقة عددي يعاين أعدادًا عائمة فقط، ولا محرك نهايات رمزي كامل خارج حالة كثير الحدود. التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا، فيبقي سكربتات الاستكشاف رخيصة عندما يحذف الطلاب المعاملات عمدًا.
حالات الاستخدام
مراجعة واجبات حاصل فرق التفاضل
يُدخل الطلاب معاملات كثير الحدود من الكتاب ويقارنون الشكل الثنائي المبسّط ونهاية المشتقة بالتوسع اليدوي قبل تسليم واجب التفاضل.
أوراكل التصحيح التلقائي للامتحانات وLMS
ولّدوا تبسيطات معروفة ل [f(x+h)−f(x)]/h ورفضًا متعمدًا للمعاملات المفقودة لمفاتيح الاختيار من متعدد وملحقات التكامل المستمر.
دفاتر تتحقق من الفروق المحدودة
قيّموا التعبير المبسّط عند h ملموس وأكّدوا الاتفاق مع فرق أمامي عددي لنفس كثير الحدود دون استيراد CAS.
الأسئلة الشائعة
ما حاصل فرق التفاضل لدالة f؟
هو [f(x+h) − f(x)] / h، ميل القاطع عبر (x, f(x)) و(x+h, f(x+h)). لكثيرات الحدود توسّع هذه الأداة وتلغي h وتعيد تعبيرًا مبسّطًا في x وh.
كيف تُرسل كثير الحدود؟
أرسلوا coeffs كمصفوفة غير فارغة بالحد الثابت أولاً: [2, −3, 1] يعني 2 − 3x + x². الطول الأقصى 33 (الدرجة ≤ 32).
ماذا يعيد simplified ل f(x) = x²؟
حاصل فرق التفاضل المبسّط هو 2x + h.
ماذا يحدث إذا كان coeffs مفقودًا أو فارغًا؟
الفارغ لا يُعامل ككثير حدود صفري؛ تُرفض البيانات المفقودة ولا تُفوتر.
ما حاصل فرق التفاضل للدالة x تكعيب؟
عند f(x) = x³ يُبسَّط إلى 3x² + 3xh + h². وعندما تقترب h من الصفر يختفي الحدّان الأخيران ويبقى 3x²، وهو ما تتوقعه قاعدة القوة تمامًا.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coeffs":[0,0,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coeffs": [
0,
0,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coeffs": [
0,
0,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coeffs":[0,0,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coeffs":[0,0,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/difference-quotient", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"coeffs": [
0,
0,
1
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.difference_quotient",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
الحساب الحسابي النقي نفسه يغذي أداة المتصفح المجانية ومسار API المدفوع مسبقًا، فلا تختلف فحوصات الصف وخطوط الإنتاج بعد تقريب عشري ثابت.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وأخطاء التحقق
يجب ألا يتجاوز طول المصفوفة ثلاثًا وثلاثين خانة حتى يبقى الدرجة الشكلية ثلاثين واثنين كحد أقصى، فيظل معاملات ذات الحدين دقيقة في الدقة المزدوجة العادية. يجب أن تبقى القيم المطلقة للمعاملات ضمن تريليون واحد. أرسلوا جسم JSON بحقل إلزامي واحد: coeffs، مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية تسرد معاملات f مع الحد الثابت أولاً. تُقبل الأسماء البديلة coefficients وf وpoly وpolynomial لنفس المصفوفة. تُقبل الأعداد كنصوص ومصفوفات JSON المرمّزة نصًا حين تطابق نمطًا عدديًا منتهيًا صارمًا. عند النجاح تعكس الاستجابة coeffs المقرَّبة والدرجة الشكلية، وf_str ككثير حدود مضغوط مقروء، وdifference_quotient_raw معادًا التعريف مع f لديكم، وsimplified كالتعبير الثنائي الملغى في x وh، وsimplified_terms قائمة مرتبة من كائنات تحمل power_x وpower_h وcoefficient، وderivative كسلسلة النهاية f شرطة عند x، وderivative_coeffs كتلك المشتقة بصيغة الحد الثابت أولاً، وformula كإعادة صياغة إنجليزية قصيرة للبناء. غياب coeffs، ومصفوفات معاملات فارغة، وغير المصفوفات، والمدخلات غير المنتهية، والقوائم الأطول من الحد المنشور، والقيم خارج الحدود المطلقة، والتراكمات الوسيطة غير المنتهية تفشل جميعها ب invalid_input ولا تُفوتر أبدًا. التسعير $0.002 ثابت لكل طلب ناجح بوحدة item.
أين تثبت واجهة حاصل فرق التفاضل قيمتها
فضّلوا مصفوفات JSON حقيقية عندما تتحكمون بالعميل. اقرنوا حالات النجاح مثل f عند x مساوية ل x تربيع بحقل coeffs مفقود أو فارغ لتوثيق مسار invalid_input الصارم.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة حاصل فرق التفاضل؟
أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بمبلغ $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.