حاسبة تكرار نقطة ثابتة بخطوة
خطوة واحدة من تكرار النقطة الثابتة كما يطلبها جدول التمارين: مع g(x) = 0.5x + 1 وتقدير حالي قدره 0 يكون التقدير التالي 1 والتغير 1. وأنتم تقررون متى تتوقفون. مجاناً في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- X n
- 0
- المعاملات
- 0.5, 1
- x التالي
- 1
- دالة التكرار
- 0.5x+1
- دلتا
- 1
- الفرق المطلق
- 1
طبّق g مرة على x_n
ما النقطة الثابتة وكيف تُحسب خطوة واحدة
النقطة الثابتة للدالة g هي العدد الذي تعيده g دون تغيير. وتبحث طريقة تكرار النقطة الثابتة عن هذا العدد بتطبيق g مرة بعد مرة على آخر تقدير: نبدأ بعدد، ثم نحسب g له، ثم g للناتج، وهكذا. وتنفذ هذه الحاسبة خطوة واحدة فقط من ذلك. أدخلوا التقدير الحالي ومعاملات كثيرة الحدود g بدءاً من أعلى درجة، فتحصلون على التقدير التالي والتغير بإشارته وقيمته المطلقة. ويجري الحساب بطريقة هورنر، أي معاملاً بعد معامل في مرور واحد.
متى تفيد الخطوة الواحدة وما الأخطاء الشائعة
تفيد الخطوة الواحدة في التحقق من سطر في جدول تكرار من واجب منزلي أو تحضير لامتحان، دون إعادة بناء المتتالية كلها. أما اقتراب المتتالية من النقطة الثابتة فيعتمد أساساً على مدى انبساط g قرب تلك النقطة. ومن الأخطاء الشائعة ترتيب المعاملات بشكل خاطئ، أو نسيان الصفر لقوة غائبة، أو الخلط بين التقدير الجديد ومقدار التغير. وأنتم من يقرر الاستمرار في الحساب أو التوقف بحسب حجم التغير.
ما الذي تحسبه خطوة نقطة ثابتة واحدة
النقطة الثابتة لدالة g هي عدد L بحيث يساوي L قيمة g(L). تحت شروط معتدلة — مثلًا عندما تكون g قابلة للاشتقاق باستمرار قرب L والقيمة المطلقة لمشتقة g عند L أقل تمامًا من واحد — تتقارب المتتالية إلى L من جوار مناسب للجذر. في الكتب يُقدَّم الأسلوب غالبًا قبل طريقة نيوتن لأن قاعدة التحديث هي ببساطة «قيّم g» دون مشتقة في كل خطوة.
تنفّذ هذه القدرة عمدًا تطبيقًا واحدًا فقط لـ g. ويناسب أيضًا خطوط الأنابيب حيث يقرر متحكم خارجي التوقف أو إعادة القياس أو تبديل الأسلوب بعد فحص حجم الخطوة. هنا تقتصر g على كثيرة حدود أحادية بمعاملات بترتيب الدرجة الأعلى أولًا، وهو نفس اصطلاح أدوات التفاضل والتكامل الشقيقة لمجموعات ريمان والعمل متعدد الحدود.
تُقبل كثيرات الحدود التربيعية والأعلى حتى حد درجة منشور، وتُقيَّم بطريقة هورنر حتى يبقى التقريب الوسيط حسن السلوك لأحجام الواجبات المعتادة.
متى يفيد حساب خطوة واحدة فقط
تستخدم القاعات ومنصات التدريس حاسبة نقطة ثابتة بخطوة واحدة ليتحقق المتعلمون من كل سطر في جدول تكرار دون إعادة حساب متتالية كاملة أو الاعتماد على زر «حل» صندوق أسود يخفي القيم الوسيطة. تحتاج مولّدات الامتحانات ومصحّحات LMS إلى وحي حتمي يعلّم خطوة صحيحة أو خاطئة مقابل ترميزات معاملات منشورة، بما في ذلك الحالة التي يكون فيها المكرَّر نقطة ثابتة أصلًا ويجب أن يكون delta صفرًا تمامًا. تستفيد مواقع المحتوى التي تتصدر لحاسبة خطوة تكرار النقطة الثابتة من أداة حية يطابق مسار متصفحها المجاني مسار الأتمتة المدفوع على الوحدة النقية نفسها.
التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
الأسئلة الشائعة
كيف أرمّز دالة التكرار g؟
مثال: g(x) = 0.5x + 1 هو [0.5, 1].
هل يستمر التكرار حتى التقارب؟
لا. يطبّق g مرة واحدة بالضبط. استخدم استدعاءات متكررة (أو حلقتك الخاصة) إن احتجت متتالية كاملة أو تقريبًا للجذر.
ما التقدير التالي للدالة g(x) = 0.5x + 1 بدءاً من 0؟
التقدير التالي هو 1. أدخلوا 0 تقديراً حالياً والمعاملين 0.5 و1 بدءاً من أعلى قوة. وتطبق الحاسبة g مرة واحدة فقط، فيكون التغير عن التقدير السابق 1.
متى يتقارب تكرار النقطة الثابتة؟
يتقارب عادة إذا كانت g قابلة للاشتقاق باستمرار قرب النقطة الثابتة وكانت القيمة المطلقة لمشتقتها هناك أقل من واحد، مع البدء من عدد قريب بما يكفي. وللدالة g(x) = 0.5x + 1 الميل 0.5، فتقترب المتتالية من 2.
ماذا يعني أن يكون التغير صفراً تماماً؟
يعني أن التقدير الحالي نقطة ثابتة بالفعل، فتطبيق g يعيد العدد نفسه. وللدالة g(x) = 0.5x + 1 يحدث ذلك عند 2، لأن نصف 2 زائد 1 يساوي 2 من جديد.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/fixed-point-single-step \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x_n":0,"coefficients":[0.5,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/fixed-point-single-step", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x_n": 0,
"coefficients": [
0.5,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/fixed-point-single-step",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x_n": 0,
"coefficients": [
0.5,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/fixed-point-single-step", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x_n":0,"coefficients":[0.5,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x_n":0,"coefficients":[0.5,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/fixed-point-single-step", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"x_n": 0,
"coefficients": [
0.5,
1
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.fixed_point_single_step",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تكرار النقطة الثابتة هو المخطط العددي الأساسي الذي يبحث عن عدد L يساوي g(L) بتطبيق دالة تكرار مرارًا: يبدأ المرء من تقدير x_0 ويجعل كل قيمة تالية g للقيمة السابقة. يحتاج الطلاب والمعلمون وسكربتات الأتمتة غالبًا إلى خطوة واحدة بالضبط من ذلك التطبيق — لا حلقة تقارب كاملة — للتحقق من سطر واجب، أو مقارنة حساب يدوي، أو قيادة قاعدة إيقاف خارجية تفحص |x_{n+1} − x_n|. تقبل حاسبة خطوة التكرار الواحد هذه التقدير الحالي x_n ومعاملات كثيرة حدود أحادية المتغير g (الدرجة الأعلى أولًا)، وتحسب x_next يساوي g لـ x_n بمخطط هورنر مستقر، وتعيد التقدير التالي مع الدلتا ذات الإشارة والتقدم المطلق. المنطق parse النقي نفسه يغذي أداة المتصفح المجانية ومسار API، فلا تختلف فحوصات الصف وخطوط الإنتاج في خطوة حسابية واحدة.
ما الذي تحسبه خطوة نقطة ثابتة واحدة
يحوّل تكرار النقطة الثابتة ذلك القول الجبري إلى متكررة: اختر تقديرًا ابتدائيًا x_0، ثم عرّف x_{n+1} يساوي g لـ x_n عندما يكون n يساوي 0، 1، 2، وهكذا. يطابق ذلك صياغة الواجبات والامتحانات: «انطلاقًا من x_n يساوي …، احسب المكرَّر التالي». تطبيق خطي مثل g لـ x يساوي نصف x زائد واحد له نقطة ثابتة مغلقة L تساوي اثنين؛ والبدء من x_n يساوي صفرًا يعطي x_next يساوي واحدًا في خطوة شفافة واحدة.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة والأخطاء
تُقرَّب المخرجات العددية إلى اثنتي عشرة خانة عشرية حتى تقارن الاختبارات الذهبية والعملاء متعددو بيئات التشغيل بايتًا ببايت دون ضوضاء الفاصلة العائمة. يُرفض الفيضان الذي ينتج نتائج هورنر غير منتهية بدل إرجاع Infinity. أرسل جسم JSON بعنصرين إلزاميين. أولًا x_n: التقدير الحالي المنتهي (تُقبل الأسماء البديلة current وx0 وestimate). ثانيًا coefficients: مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية [c_d, c_{d-1}, …, c_0] لـ g لـ x تساوي c_d x مرفوعة إلى d زائد قوى أدنى (بدائل coeffs وg وpoly). الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والأعداد غير المنتهية ومصفوفات المعاملات الفارغة تفشل بـ invalid_input مع تسمية المشكلة؛ ولا تُفوتر تلك الإخفاقات. عند النجاح يعيد الجسم x_n منظَّفًا، والقيمة التالية x_next، وقائمة المعاملات، وسلسلة iteration_function مضغوطة بالشكل القياسي مناسبة للعرض بجانب الجواب، والدلتا ذات الإشارة تساوي x_next ناقص x_n، والتقدم المطلق abs_delta، وتذكيرًا قصيرًا بالصيغة بأن x_{n+1} يساوي g لـ x_n لخطوة نقطة ثابتة واحدة. مثال: coefficients [0.5, 1] تعني g لـ x تساوي 0.5x زائد 1؛ مع x_n يساوي 0 يعيد المعالج x_next يساوي 1 وdelta يساوي 1 وabs_delta يساوي 1. مثال ثانٍ بـ coefficients [0.25, 0, 1] وx_n يساوي 2 يعطي g لـ 2 يساوي 0.25 مضروبًا في 4 زائد 1 يساوي 2، فتكون الخطوة أصلًا عند نقطة ثابتة وdelta وabs_delta صفرًا — فحص مفيد لترميز g قبل مواصلة التكرار.
أين تُجدي واجهة API لخطوة نقطة ثابتة واحدة
غالبًا ما تعيد الدفاتر العددية وعوامل الحافة كتابة المعادلات غير الخطية بالشكل x يساوي g لـ x ثم تقدّم التطبيق باختبارات تقاربها؛ واستدعاء API parse صغيرة لكل خطوة يتجنب تضمين تقييم متعدد الحدود مرتجلًا في كل سكربت. ولأن التنفيذ parse من المستوى A خالص، تكلف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة. أبقِ الطلبات صغيرة وثبّت x_next وabs_delta المقربين في الاختبارات لتحصل على مكرَّرات خطوة واحدة قابلة للتكرار للواجبات والإضافات والعوامل دون بناء كومة كاملة من حلول غير خطية خاصة بك.
حالات التكامل
جداول التكرار في الواجبات
تحقق من سطر في جدول نقطة ثابتة: بمعرفة x_n وكثيرة الحدود g، راجع x_{n+1} وحجم الخطوة المطلق أمام حساب الكتاب.
تصحيح LMS والامتحانات آليًا
صحّح بنود نقطة ثابتة بخطوة واحدة بوحي حتمي يعيد نفس x_next وdelta في كل مرة لنفس المعاملات.
حلقات تقارب خارجية
قد قاعدتك الخاصة للإيقاف باستدعاء API مرة لكل مكرَّر وفحص abs_delta حتى ينخفض دون تسامح تختاره.
أسئلة تقنية
ماذا تحسب خطوة واحدة من تكرار النقطة الثابتة؟
تقيّم x_next = g(x_n) لتقديرك الحالي ودالة التكرار متعددة الحدود g، وتعيد أيضًا الدلتا ذات الإشارة و|x_next − x_n|.
ماذا لو كانت g(x_n) تساوي x_n أصلًا؟
إذن x_next يساوي x_n وdelta وabs_delta كلاهما صفر — أنت أصلًا عند نقطة ثابتة لذلك الترميز متعدد الحدود.
كم تكلف حاسبة النقطة الثابتة بخطوة واحدة؟
أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.