Iteração de ponto fixo em um passo

A iteração de ponto fixo é o esquema numérico elementar que busca um número L igual a g(L) aplicando repetidamente uma função de iteração: parte-se de uma estimativa x_0 e cada valor seguinte é g do anterior. Alunos, tutores e scripts de automação costumam precisar de exatamente um passo desse mapa —não de um laço completo de convergência— para conferir uma linha de lição de casa, comparar um cálculo manual ou conduzir uma regra de parada externa que inspeciona |x_{n+1} − x_n|. Esta calculadora de um passo da iteração de ponto fixo aceita a estimativa atual x_n e os coeficientes de um polinômio univariado g (maior grau primeiro), avalia x_next igual a g de x_n com um esquema de Horner estável e devolve a próxima estimativa junto com o delta com sinal e o progresso absoluto.

O que um único passo de ponto fixo calcula

A iteração de ponto fixo transforma essa afirmação algébrica em uma recorrência: escolha uma estimativa inicial x_0 e defina x_{n+1} igual a g de x_n para n igual a 0, 1, 2, e assim por diante. Esse desenho combina com o enunciado de lições e provas: «partindo de x_n igual a …, calcule o próximo iterado». Um mapa linear como g de x igual a metade de x mais um tem o ponto fixo fechado L igual a dois; partindo de x_n igual a zero obtém-se x_next igual a um em um único passo transparente.

Contrato de entrada, formato da resposta e erros

As saídas numéricas são arredondadas a doze casas decimais para que goldens e clientes multi-runtime comparem byte a byte sem ruído de ponto flutuante. Overflow que produz resultados de Horner não finitos é rejeitado em vez de devolvido como Infinity. Envie um corpo JSON com dois dados obrigatórios. Primeiro, x_n: a estimativa finita atual (aceitam-se os aliases current, x0 e estimate). Segundo, coefficients: um array não vazio de números finitos [c_d, c_{d-1}, …, c_0] para g de x igual a c_d x à d mais potências inferiores (aliases coeffs, g e poly). Campos ausentes, strings vazias, números não finitos e arrays de coeficientes vazios falham com invalid_input nomeando o problema; essas falhas não são faturadas. Em caso de sucesso o corpo devolve um x_n limpo, o valor seguinte x_next, a lista de coeficientes, uma string compacta iteration_function em forma padrão adequada para exibir ao lado da resposta, o delta com sinal igual a x_next menos x_n, o progresso absoluto abs_delta e um lembrete breve de fórmula de que x_{n+1} é igual a g de x_n em um passo de ponto fixo. Um segundo exemplo com coefficients [0.25, 0, 1] e x_n igual a 2 dá g de 2 igual a 0.25 vezes 4 mais 1 igual a 2, de modo que o passo já está em um ponto fixo e tanto delta quanto abs_delta são zero —uma checagem útil de que a codificação de g está correta antes de continuar a iterar.

Onde uma API de ponto fixo de um passo agrega valor

Cadernos numéricos e edge workers frequentemente reescrevem equações não lineares na forma x igual a g de x e avançam o mapa com seus próprios testes de convergência; chamar uma API parse pequena em cada passo evita embutir avaliação polinomial ad hoc em cada script. Como a implementação é parse de nível A pura, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Mantenha as requisições pequenas, fixe x_next e abs_delta arredondados nos testes e você obtém iterados de um passo reprodutíveis para lições, plugins e workers sem montar uma pilha completa de solvers não lineares própria.