Fixpunktiteration ein Schritt

Die Fixpunktiteration ist das elementare numerische Schema, das eine Zahl L mit L gleich g(L) sucht, indem es eine Iterationsfunktion wiederholt anwendet: man startet mit einer Schätzung x_0 und setzt jeden nächsten Wert auf g des vorherigen. Lernende, Tutoren und Automatisierungsskripte brauchen oft genau einen Schritt dieser Abbildung — nicht eine volle Konvergenzschleife —, um eine Hausaufgabenzeile zu prüfen, eine Handrechnung zu vergleichen oder eine externe Abbruchregel zu steuern, die |x_{n+1} − x_n| prüft. Dieser Rechner für einen Fixpunkt-Iterationsschritt nimmt die aktuelle Schätzung x_n und die Koeffizienten eines univariaten Polynoms g (höchster Grad zuerst) entgegen, wertet x_next gleich g von x_n mit einem stabilen Horner-Schema aus und liefert die nächste Schätzung zusammen mit dem vorzeichenbehafteten Delta und dem absoluten Fortschritt.

Was ein einzelner Fixpunktschritt berechnet

Die Fixpunktiteration macht aus dieser algebraischen Aussage eine Rekurrenz: wählen Sie eine Startschätzung x_0 und definieren Sie x_{n+1} gleich g von x_n für n gleich 0, 1, 2 und so weiter. Dieses Design entspricht der Formulierung von Haus- und Prüfungsaufgaben: „ausgehend von x_n gleich … berechnen Sie den nächsten Iterierten“. Eine lineare Abbildung wie g von x gleich ein halb x plus eins hat den geschlossenen Fixpunkt L gleich zwei; startet man bei x_n gleich null, ergibt sich x_next gleich eins in einem einzigen transparenten Schritt.

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Numerische Ausgaben werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit Goldens und Multi-Runtime-Clients byteweise ohne Gleitkommarauschen vergleichen. Überlauf, der nicht endliche Horner-Ergebnisse erzeugt, wird abgelehnt statt als Infinity zurückgegeben. Senden Sie einen JSON-Body mit zwei Pflichtangaben. Erstens x_n: die aktuelle endliche Schätzung (Aliase current, x0 und estimate werden akzeptiert). Zweitens coefficients: ein nicht leeres Array endlicher Zahlen [c_d, c_{d-1}, …, c_0] für g von x gleich c_d x hoch d plus niedrigere Potenzen (Aliase coeffs, g und poly). Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nicht endliche Zahlen und leere Koeffizientenarrays scheitern mit invalid_input und benennen das Problem; diese Fehler werden nicht abgerechnet. Bei Erfolg liefert der Body ein bereinigtes x_n, den nächsten Wert x_next, die Koeffizientenliste, eine kompakte iteration_function-Zeichenkette in Standardform zur Anzeige neben der Antwort, das vorzeichenbehaftete Delta gleich x_next minus x_n, den absoluten Fortschritt abs_delta und eine kurze Formel-Erinnerung, dass x_{n+1} gleich g von x_n für einen Fixpunktschritt ist. Ein zweites Beispiel mit coefficients [0.25, 0, 1] und x_n gleich 2 ergibt g von 2 gleich 0.25 mal 4 plus 1 gleich 2, sodass der Schritt bereits im Fixpunkt liegt und sowohl delta als auch abs_delta null sind — eine nützliche Prüfung, dass Ihre Kodierung von g korrekt ist, bevor Sie weiter iterieren.

Wo eine Ein-Schritt-Fixpunkt-API ihren Nutzen hat

Numerische Notebooks und Edge-Worker schreiben nichtlineare Gleichungen oft in die Form x gleich g von x um und treiben die Abbildung unter eigenen Konvergenztests voran; ein kleiner Parse-API-Aufruf pro Schritt vermeidet ad-hoc-Polynomauswertung in jedem Skript. Weil die Implementierung reines Parse-Tier-A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie gerundetes x_next und abs_delta in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Ein-Schritt-Iterierte für Hausaufgaben, Plugins und Worker, ohne eine volle nichtlineare Solver-Stack selbst aufzubauen.