Iteración de punto fijo en un paso

La iteración de punto fijo es el esquema numérico elemental que busca un número L igual a g(L) aplicando de forma repetida una función de iteración: se parte de una estimación x_0 y cada valor siguiente es g del anterior. Estudiantes, tutores y scripts de automatización suelen necesitar exactamente un paso de ese mapa —no un bucle completo de convergencia— para comprobar una línea de deberes, contrastar un cálculo manual o gobernar una regla de parada externa que inspecciona |x_{n+1} − x_n|. Esta calculadora de un paso de iteración de punto fijo acepta la estimación actual x_n y los coeficientes de un polinomio univariado g (grado mayor primero), evalúa x_next igual a g de x_n con un esquema de Horner estable y devuelve la siguiente estimación junto con el delta con signo y el progreso absoluto.

Qué calcula un solo paso de punto fijo

La iteración de punto fijo convierte esa afirmación algebraica en una recurrencia: elija una estimación inicial x_0 y defina x_{n+1} igual a g de x_n para n igual a 0, 1, 2, y así sucesivamente. Ese diseño coincide con cómo se enuncian los problemas de deberes y exámenes: «partiendo de x_n igual a …, calcule el siguiente iterado». Un mapa lineal como g de x igual a un medio x más uno tiene el punto fijo cerrado L igual a dos; partiendo de x_n igual a cero se obtiene x_next igual a uno en un solo paso transparente.

Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores

Las salidas numéricas se redondean a doce decimales para que los goldens y los clientes multi-runtime comparen byte a byte sin ruido de coma flotante. El desbordamiento que produce resultados de Horner no finitos se rechaza en lugar de devolverse como Infinity. Envíe un cuerpo JSON con dos datos obligatorios. Primero, x_n: la estimación finita actual (se aceptan los alias current, x0 y estimate). Segundo, coefficients: un array no vacío de números finitos [c_d, c_{d-1}, …, c_0] para g de x igual a c_d x a la d más potencias inferiores (alias coeffs, g y poly). Campos ausentes, cadenas vacías, números no finitos y arrays de coeficientes vacíos fallan con invalid_input indicando el problema; esos fallos no se facturan. En caso de éxito el cuerpo devuelve un x_n limpio, el valor siguiente x_next, la lista de coeficientes, una cadena compacta iteration_function en forma estándar apta para mostrar junto a la respuesta, el delta con signo igual a x_next menos x_n, el progreso absoluto abs_delta y un recordatorio breve de fórmula de que x_{n+1} es igual a g de x_n en un paso de punto fijo. Ejemplo: coefficients [0.5, 1] significan g de x igual a 0.5x más 1; con x_n igual a 0 el manejador devuelve x_next igual a 1, delta igual a 1 y abs_delta igual a 1. Un segundo ejemplo con coefficients [0.25, 0, 1] y x_n igual a 2 da g de 2 igual a 0.25 por 4 más 1 igual a 2, de modo que el paso ya está en un punto fijo y tanto delta como abs_delta son cero —una comprobación útil de que su codificación de g es correcta antes de seguir iterando.

Dónde aporta valor una API de punto fijo de un paso

Los cuadernos numéricos y los edge workers a menudo reescriben ecuaciones no lineales en la forma x igual a g de x y avanzan el mapa con sus propias pruebas de convergencia; llamar a una API parse pequeña en cada paso evita incrustar evaluación polinómica ad hoc en cada script. Como la implementación es parse de nivel A pura, cada llamada con éxito cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente. Mantenga las peticiones pequeñas, fije x_next y abs_delta redondeados en las pruebas y obtendrá iterados de un paso reproducibles para deberes, plugins y workers sin levantar una pila completa de resolutores no lineales propia.