Iterazione di punto fisso in un passo

L’iterazione di punto fisso è lo schema numerico elementare che cerca un numero L uguale a g(L) applicando ripetutamente una funzione di iterazione: si parte da una stima x_0 e ogni valore successivo è g del precedente. Studenti, tutor e script di automazione spesso necessitano di esattamente un passo di quella mappa — non di un ciclo completo di convergenza — per controllare una riga di compiti, confrontare un calcolo a mano o guidare una regola di arresto esterna che ispeziona |x_{n+1} − x_n|. Questo calcolatore di un passo di iterazione di punto fisso accetta la stima corrente x_n e i coefficienti di un polinomio univariato g (grado maggiore per primo), valuta x_next uguale a g di x_n con uno schema di Horner stabile e restituisce la stima successiva insieme al delta con segno e al progresso assoluto.

Cosa calcola un singolo passo di punto fisso

L’iterazione di punto fisso trasforma quell’affermazione algebrica in una ricorrenza: scelga una stima iniziale x_0, poi definisca x_{n+1} uguale a g di x_n per n uguale a 0, 1, 2, e così via. Quel disegno coincide con come sono formulati i problemi di compiti ed esami: «partendo da x_n uguale a …, calcoli l’iterato successivo». Una mappa lineare come g di x uguale a un mezzo x più uno ha il punto fisso chiuso L uguale a due; partendo da x_n uguale a zero si ottiene x_next uguale a uno in un solo passo trasparente.

Contratto di ingresso, forma della risposta ed errori

L’overflow che produce risultati di Horner non finiti è rifiutato anziché restituito come Infinity. Invii un corpo JSON con due dati obbligatori. Primo, x_n: la stima finita corrente (sono accettati gli alias current, x0 e estimate). Secondo, coefficients: un array non vuoto di numeri finiti [c_d, c_{d-1}, …, c_0] per g di x uguale a c_d x alla d più le potenze inferiori (alias coeffs, g e poly). Campi mancanti, stringhe vuote, numeri non finiti e array di coefficienti vuoti falliscono con invalid_input indicando il problema; tali fallimenti non sono fatturati. In caso di successo il corpo restituisce un x_n pulito, il valore successivo x_next, l’elenco dei coefficienti, una stringa compatta iteration_function in forma standard adatta alla visualizzazione accanto alla risposta, il delta con segno uguale a x_next meno x_n, il progresso assoluto abs_delta e un breve promemoria di formula che x_{n+1} è uguale a g di x_n per un passo di punto fisso. Un secondo esempio con coefficients [0.25, 0, 1] e x_n uguale a 2 dà g di 2 uguale a 0.25 volte 4 più 1 uguale a 2, così il passo è già in un punto fisso e sia delta sia abs_delta sono zero — un controllo utile che la codifica di g è corretta prima di iterare ulteriormente.

Dove un’API di punto fisso a un passo crea valore

Notebook numerici e edge worker spesso riscrivono equazioni non lineari nella forma x uguale a g di x e avanzano la mappa con i propri test di convergenza; chiamare una piccola API parse a ogni passo evita di incorporare valutazione polinomiale ad hoc in ogni script. Poiché l’implementazione è parse di livello A pura, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello né rete in uscita. Mantenga le richieste piccole, fissi x_next e abs_delta arrotondati nei test e otterrà iterati di un passo riproducibili per compiti, plugin e worker senza erigere una pila completa di risolutori non lineari propria.