Itération de point fixe en un pas

L’itération de point fixe est le schéma numérique élémentaire qui cherche un nombre L égal à g(L) en appliquant de façon répétée une fonction d’itération : on part d’une estimation x_0 et chaque valeur suivante est g de la précédente. Élèves, tuteurs et scripts d’automatisation ont souvent besoin d’exactement un pas de cette application — pas d’une boucle complète de convergence — pour vérifier une ligne de devoir, comparer un calcul à la main ou piloter une règle d’arrêt externe qui inspecte |x_{n+1} − x_n|. Ce calculateur d’un pas d’itération de point fixe accepte l’estimation courante x_n et les coefficients d’un polynôme univarié g (degré le plus élevé en premier), évalue x_next égal à g de x_n avec un schéma de Horner stable, et renvoie la prochaine estimation ainsi que le delta signé et le progrès absolu.

Ce qu’un seul pas de point fixe calcule

L’itération de point fixe transforme cette affirmation algébrique en une récurrence : choisissez une estimation initiale x_0, puis définissez x_{n+1} égal à g de x_n pour n égal à 0, 1, 2, et ainsi de suite. Ce choix correspond à la formulation des devoirs et des examens : « en partant de x_n égal à …, calculez l’itéré suivant ». Une application linéaire telle que g de x égal à un demi x plus un a le point fixe fermé L égal à deux ; en partant de x_n égal à zéro on obtient x_next égal à un en un seul pas transparent.

Contrat d’entrée, forme de la réponse et erreurs

Les sorties numériques sont arrondies à douze décimales afin que les goldens et les clients multi-runtime comparent octet par octet sans bruit de flottants. Un débordement produisant des résultats de Horner non finis est rejeté plutôt que renvoyé comme Infinity. Envoyez un corps JSON avec deux données obligatoires. D’abord, x_n : l’estimation finie courante (les alias current, x0 et estimate sont acceptés). Ensuite, coefficients : un tableau non vide de nombres finis [c_d, c_{d-1}, …, c_0] pour g de x égal à c_d x puissance d plus les puissances inférieures (alias coeffs, g et poly). Les champs manquants, chaînes vides, nombres non finis et tableaux de coefficients vides échouent avec invalid_input en nommant le problème ; ces échecs ne sont pas facturés. En cas de succès le corps renvoie un x_n nettoyé, la valeur suivante x_next, la liste des coefficients, une chaîne compacte iteration_function en forme standard adaptée à l’affichage à côté de la réponse, le delta signé égal à x_next moins x_n, le progrès absolu abs_delta, et un court rappel de formule indiquant que x_{n+1} est égal à g de x_n pour un pas de point fixe. Exemple : coefficients [0.5, 1] signifient g de x égal à 0.5x plus 1 ; avec x_n égal à 0 le gestionnaire renvoie x_next égal à 1, delta égal à 1 et abs_delta égal à 1. Un second exemple avec coefficients [0.25, 0, 1] et x_n égal à 2 donne g de 2 égal à 0.25 fois 4 plus 1 égal à 2, de sorte que le pas est déjà en un point fixe et que delta comme abs_delta valent zéro — un contrôle utile que votre encodage de g est correct avant de poursuivre l’itération.

Où une API de point fixe à un pas apporte de la valeur

Les carnets numériques et les edge workers réécrivent souvent des équations non linéaires sous la forme x égal à g de x puis avancent la carte sous leurs propres tests de convergence ; appeler une petite API parse à chaque pas évite d’embarquer une évaluation polynomiale ad hoc dans chaque script. Comme l’implémentation est parse de niveau A pure, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant. Gardez les requêtes petites, figez x_next et abs_delta arrondis dans les tests, et vous obtenez des itérés d’un pas reproductibles pour les devoirs, plugins et workers sans déployer une pile complète de solveurs non linéaires.