Symétrie paire/impaire de polynômes

Les fonctions paires et impaires sont le premier test de symétrie que rencontrent de nombreux étudiants en calcul : f est paire lorsque f de moins x égale f de x, et impaire lorsque f de moins x égale l'opposé de f de x. Pour un polynôme univarié, le test se réduit à une règle simple de parité sur les exposants qui apparaissent vraiment. Seules les puissances paires peuvent survivre dans un polynôme pair ; seules les impaires dans un impair ; des puissances mixtes signifient ni l'un ni l'autre ; le polynôme nul est les deux. Ce vérificateur de symétrie paire/impaire accepte les coefficients du plus haut degré au plus bas, liste les exposants pairs et impairs à coefficients non nuls, et renvoie une étiquette de symétrie claire plus des drapeaux booléens.

Ce que pair et impair signifient pour un polynôme

Une fonction réelle f est paire lorsque la substitution de x par moins x laisse le graphe inchangé par réflexion par rapport à l'axe des y, ce qui est l'identité f de moins x égale f de x pour tout x du domaine. Elle est impaire lorsque le graphe a une symétrie par rapport à l'origine, c'est-à-dire f de moins x égale l'opposé de f de x. Ces deux identités ne s'excluent pas au sens vide : la fonction nulle les satisfait toutes deux, car zéro égale son propre opposé.

Pour un polynôme écrit comme somme de a sub k fois x à la k, la substitution de x par moins x multiplie chaque terme par moins un élevé à la puissance k. Les termes avec k pair restent inchangés et appartiennent aux fonctions paires ; ceux avec k impair changent de signe et appartiennent aux fonctions impaires.

Ainsi un polynôme est pair exactement lorsque tout coefficient non nul se trouve sur un exposant pair, impair lorsque tout coefficient non nul se trouve sur un exposant impair, les deux lorsque tout coefficient est zéro, et ni l'un ni l'autre lorsque le support du polynôme contient au moins une puissance paire et une impaire. Ce vérificateur n'a pas besoin d'évaluer f en des points d'échantillon : il lit le vecteur de coefficients une fois, enregistre les parités des positions non nulles et émet la classification du manuel.

Le résultat est exact pour des coefficients flottants finis après un léger nettoyage du bruit proche de zéro, et correspond à la façon dont les enseignants notent sur papier lorsqu'ils demandent d'inspecter les exposants plutôt que de développer f de moins x à la main.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

L'entrée à l'indice zéro est le coefficient dominant de x à la puissance n, où n est la longueur moins un, et la dernière entrée est le terme constant. Les zéros sont autorisés et marquent simplement les puissances manquantes ; ils ne modifient pas les ensembles de parité. Le degré est plafonné par sécurité afin qu'une charge incontrôlée ne force pas un balayage excessif.

En cas de succès, le corps renvoie les coefficients nettoyés, indique le degré effectif comme la plus haute puissance à coefficient non nul (zéro pour le polynôme nul), réimprime une chaîne compacte du polynôme pour l'affichage et fixe symmetry à even, odd, neither ou both.

Exemple : coefficients un, zéro, moins trois, zéro, deux représentent x à la quatrième moins trois x au carré plus deux, qui est pair ; un, zéro, un, zéro représentent x au cube plus x, qui est impair ; un, un représentent x plus un, qui n'est ni pair ni impair.

À qui sert une vérification de parité

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un vérificateur de symétrie paire et impaire de polynômes pour que les apprenants confirment si une liste de coefficients est paire ou impaire sans développer f de moins x à la main et risquer des erreurs de signe à chaque terme. Les générateurs d'examens et les plugins LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui marque le polynôme nul comme both et rejette l'entrée vide au lieu de la traiter silencieusement comme un zéro constant qu'un correcteur défectueux pourrait mal interpréter.

Les interfaces d'algèbre computationnelle et les carnets symboliques veulent souvent un préfiltre bon marché avant des simplifications plus lourdes : si un polynôme est déjà purement pair ou purement impair, la moitié des termes d'un développement de f de moins x peut être omise. Une validation échouée ne consomme pas de solde.