تماثل الزوجي/الفردي لكثيرات الحدود
أدخلوا 1, 0, -3, 0, 2 لتعرفوا أن x^4 - 3x^2 + 2 زوجية، لأن كل حدودها غير الصفرية ذات أسس زوجية. تقرأ الأداة الأسس مباشرة، فلا حاجة إلى توسيع f(-x) يدويًا. مجانًا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- المعاملات
- 1, 0, -3, 0, 2
- الدرجة
- 4
- كثير الحدود
- x^4-3x^2+2
- التناظر
- even
- الأسس الزوجية
- 4, 2, 0
الدوال الزوجية والفردية هي أول اختبار للتماثل يصادفه كثير من دارسي التفاضل: تكون f زوجية عندما تساوي f عند سالب x قيمة f عند x، وتكون فردية عندما تساوي f عند سالب x سالب f عند x. أما كثيرة الحدود أحادية المتغير فينهار الاختبار إلى قاعدة بسيطة لزوجية الأسس التي تظهر فعلاً. لا تبقى في كثيرة حدود زوجية سوى القوى الزوجية؛ ولا في فردية سوى القوى الفردية؛ والقوى المختلطة تعني لا هذا ولا ذاك؛ وكثيرة الحدود الصفرية كلاهما معاً. يقبل مدقق التماثل الزوجي/الفردي هذا معاملات من أعلى درجة إلى أدناها، ويسرد الأسس الزوجية والفردية ذات المعاملات غير الصفرية، ويعيد تسمية تماثل واضحة مع أعلام منطقية.
معنى الزوجي والفردي لكثيرة حدود
تكون الدالة الحقيقية f زوجية عندما لا يغيّر استبدال x بسالب x الرسم تحت الانعكاس حول محور y، أي الهوية f عند سالب x تساوي f عند x لكل x في المجال. هاتان الهويتان ليستا متعارضتين بالمعنى الفارغ: الدالة الصفرية تحققهما معاً لأن الصفر يساوي سالب نفسه. الحدود ذات k الزوجي لا تتغير فتنتمي للدوال الزوجية؛ والحدود ذات k الفردي تعكس الإشارة فتنتمي للدوال الفردية.
إذن تكون كثيرة الحدود زوجية تماماً عندما يقع كل معامل غير صفري على أس زوجي، وفردية عندما يقع كل معامل غير صفري على أس فردي، وكلاهما عندما يكون كل معامل صفراً، ولا هذا ولا ذاك عندما يحتوي دعم كثيرة الحدود على قوة زوجية وفردية على الأقل. لا يحتاج هذا المدقق إلى تقييم f عند نقاط عيّنة: يقرأ متجه المعاملات مرة واحدة، ويسجّل زوجية المواضع غير الصفرية، ويُصدر التصنيف المعتمد في الكتب.
النتيجة دقيقة للمعاملات العائمة المنتهية بعد تنظيف خفيف لضجيج قرب الصفر، وتوافق طريقة تصحيح المدرّسين على الورق حين يطلبون فحص الأسس بدل توسيع f عند سالب x يدوياً.
أين يفيد التحقق السريع من التماثل
تستخدم القاعات ومنصات التدريس مدقق تماثل زوجي وفردي لكثيرات الحدود ليؤكد المتعلمون ما إذا كانت قائمة معاملات زوجية أو فردية دون توسيع f عند سالب x يدوياً والمخاطرة بأخطاء الإشارة في كل حد. تحتاج مولّدات الامتحانات وإضافات LMS إلى وسيط حتمي يعلّم كثيرة الحدود الصفرية كـ both ويرفض الإدخال الفارغ بدل معاملته صامتاً كثابت صفر قد يسيء مصحح معطوب فهمه.
غالباً ما تريد واجهات الجبر الحاسوبي والدفاتر الرمزية مرشحاً مسبقاً رخيصاً قبل تبسيطات أثقل: إذا كانت كثيرة الحدود زوجية خالصة أو فردية خالصة أصلاً يمكن تخطي نصف الحدود في توسيع f عند سالب x. تستفيد مواقع المحتوى التي تتنافس على تماثل الزوجي والفردي لكثيرات الحدود من أداة حية يطابق مسارها المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع على الوحدة الخالصة نفسها. التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
حالات الاستخدام
فحوصات القاعة والواجبات
اسمح للطلاب بإرسال قوائم معاملات والتحقق من even أو odd أو neither أو both وفق قاعدة زوجية الأسس في كتب التفاضل.
تصحيح آلي للامتحانات وLMS
صحّح بنود تصنيف الزوجي/الفردي بوسيط حتمي يعامل كثيرة الحدود الصفرية كـ both ولا يخترع أبداً تسميات زوجية مختلطة.
مرشحات CAS مسبقة ودفاتر
تخطَّ نصف توسيع f(-x) عندما تكون كثيرة الحدود زوجية أو فردية خالصة أصلاً قبل العمل الرمزي الأثقل.
الأسئلة الشائعة
ما الذي يجعل كثيرة حدود زوجية؟
فقط القوى الزوجية لها معاملات غير صفرية، إذن f(-x)=f(x). مثال: x^4−3x^2+2 زوجية؛ x^3+x فردية.
هل يجب أن أوسّع f(-x) بنفسي؟
لا. التصنيف يفحص فقط زوجية أسس الحدود غير الصفرية؛ ولا يقيّم كثيرة الحدود عند نقاط عيّنة.
كيف أتحقق مما إذا كانت كثيرة الحدود زوجية أو فردية؟
أدخلوا المعاملات من أعلى قوة حتى الحد الثابت. في x^4 - 3x^2 + 2 تكون المعاملات 1, 0, -3, 0, 2، ولا تظهر معاملات غير صفرية إلا عند القوى الزوجية، لذا فهي زوجية.
هل يمكن أن تكون كثيرة الحدود زوجية وفردية معًا؟
لا يحدث ذلك إلا لكثيرة الحدود الصفرية. كل معاملاتها أصفار، والصفر يساوي سالبه، فتحقق التماثلين معًا. أما أي كثيرة حدود فيها حد غير صفري فهي زوجية أو فردية أو لا هذه ولا تلك.
لماذا لا تكون x + 1 زوجية ولا فردية؟
لأنها تجمع قوة فردية هي x مع قوة زوجية هي الحد الثابت. التماثل الزوجي يتطلب قوى زوجية فقط، والفردي يتطلب قوى فردية فقط، فلا يتحقق أي منهما مع هذا الخليط.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,0,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0,
2
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.polynomial_symmetry",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
المنطق الخالص نفسه يغذي أداة المتصفح المجانية ومسار API، فلا تختلف فحوصات الواجبات وأنابيب الإنتاج حول ما إذا كانت x مرفوعة للرابعة ناقص ثلاثة x مربعاً زوجية أم x مكعباً زائد x فردية.
معنى الزوجي والفردي لكثيرة حدود
ولكثيرة حدود مكتوبة كمجموع a_sub_k مضروباً في x مرفوعة لـ k، يضرب استبدال x بسالب x كل حد في سالب واحد مرفوعاً للقوة k.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الأخطاء
العنصر عند الفهرس صفر هو المعامل القائد لـ x مرفوعة لـ n حيث n الطول ناقص واحد، والعنصر الأخير هو الحد الثابت. تُسمح الأصفار وتشير فقط إلى قوى غائبة؛ ولا تغيّر مجموعات الزوجية. عند النجاح يعيد الجسم المعاملات المنظّفة، ويبلّغ الدرجة الفعلية كأعلى قوة بمعامل غير صفري (صفر لكثيرة الحدود الصفرية)، ويعيد طباعة سلسلة مضغوطة لكثيرة الحدود للعرض، ويضبط symmetry إلى even أو odd أو neither أو both. مثال: المعاملات واحد، صفر، سالب ثلاثة، صفر، اثنان تمثل x مرفوعة للرابعة ناقص ثلاثة x مربعاً زائد اثنين وهي زوجية؛ واحد، صفر، واحد، صفر تمثل x مكعباً زائد x وهي فردية؛ واحد، واحد تمثل x زائد واحد وليست زوجية ولا فردية. أرسل بجسم JSON عبر POST حقلاً إلزامياً واحداً: coefficients، وهو مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية مرتبة من أعلى درجة إلى أدناها. تُقبل الأسماء البديلة coeffs و poly لنفس المصفوفة. المصفوفات الفارغة وغير المصفوفات والحقول الناقصة والقيم غير المنتهية تفشل بـ invalid_input ولا تُفوتر. تُحدّ الدرجة للأمان حتى لا تفرض حمولة جارفة مسحاً مفرطاً. الحقلان المنطقيان is_even و is_odd يعكسان الهويتين الكلاسيكيتين، فلا يحتاج العملاء الذين يفضّلون الأعلام على تعداد نصي إلى تفرعات إضافية. تسرد المصفوفتان even_exponents و odd_exponents القوى ذات المعاملات غير الصفرية مرتبة تنازلياً. nonzero_term_count هو طولهما المجموع، و formula تعيد صياغة قاعدة الزوجية في سطر لذيول الواجهة.
أين تُثبت API تماثل كثيرات الحدود قيمتها
ولأن التنفيذ parse من المستوى A خالص، يكلّف كل استدعاء ناجح السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج وبلا شبكة صادرة.
أسئلة تقنية
كيف أتحقق مما إذا كانت كثيرة حدود زوجية أو فردية؟
أرسل المعاملات من أعلى درجة إلى أدناها. تسرد API الأسس الزوجية والفردية ذات المعاملات غير الصفرية وتعيد symmetry even أو odd أو neither أو both (كثيرة الحدود الصفرية).
ماذا عن كثيرة الحدود الصفرية؟
كل معامل صفر، إذن f(-x)=0=f(x)=-f(x). يعيد المدقق symmetry both مع is_even و is_odd بقيمة true.
كم تكلفة مدقق تماثل كثيرات الحدود؟
أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بمقدار $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.