Simetría par/impar de polinomios

Las funciones pares e impares son la primera prueba de simetría que muchos estudiantes de cálculo encuentran: f es par cuando f de menos x es igual a f de x, e impar cuando f de menos x es igual al opuesto de f de x. En un polinomio univariado la prueba se reduce a una regla simple de paridad sobre los exponentes que realmente aparecen. Solo las potencias pares pueden sobrevivir en un polinomio par; solo las impares en uno impar; potencias mezcladas significan ninguno; el polinomio nulo es ambos. Este verificador de simetría par/impar acepta coeficientes de mayor a menor grado, enumera los exponentes pares e impares con coeficientes no nulos y devuelve una etiqueta de simetría clara más banderas booleanas.

Qué significan par e impar en un polinomio

Una función real f es par cuando al sustituir x por menos x la gráfica no cambia bajo reflexión respecto al eje y, lo cual es la identidad f de menos x igual a f de x para todo x del dominio. Es impar cuando la gráfica tiene simetría respecto al origen, es decir f de menos x igual al opuesto de f de x. Esas dos identidades no se excluyen en un sentido vacío: la función nula cumple ambas, porque cero es igual a su propio opuesto.

Para un polinomio escrito como suma de a sub k por x a la k, la sustitución de x por menos x multiplica cada término por menos uno elevado a la potencia k. Los términos con k par no cambian, así que pertenecen a funciones pares; los de k impar cambian de signo, así que pertenecen a funciones impares.

Por tanto un polinomio es par exactamente cuando todo coeficiente no nulo está en un exponente par, impar cuando todo coeficiente no nulo está en un exponente impar, ambos cuando todo coeficiente es cero, y ninguno cuando el soporte del polinomio contiene al menos una potencia par y una impar. Este verificador no necesita evaluar f en puntos de muestra: lee el vector de coeficientes una vez, registra las paridades de las posiciones no nulas y emite la clasificación del libro de texto.

El resultado es exacto para coeficientes flotantes finitos tras una limpieza ligera del ruido cercano a cero, y coincide con cómo los docentes califican en papel cuando piden inspeccionar exponentes en lugar de expandir f de menos x a mano.

Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores

La entrada en el índice cero es el coeficiente principal de x a la potencia n, donde n es la longitud menos uno, y la última entrada es el término constante. Se permiten ceros y solo marcan potencias ausentes; no alteran los conjuntos de paridad. El grado está acotado por seguridad para que una carga descontrolada no fuerce un barrido desmedido.

Si tiene éxito, el cuerpo devuelve los coeficientes limpios, informa el grado efectivo como la mayor potencia con coeficiente no nulo (cero para el polinomio nulo), reimprime una cadena compacta del polinomio para mostrar y asigna symmetry a even, odd, neither o both.

Ejemplo: coeficientes uno, cero, menos tres, cero, dos representan x a la cuarta menos tres x al cuadrado más dos, que es par; uno, cero, uno, cero representan x al cubo más x, que es impar; uno, uno representan x más uno, que no es ni par ni impar.

A quién le sirve comprobar la paridad

Las aulas y las plataformas de tutoría usan un verificador de simetría par e impar de polinomios para que el alumnado confirme si una lista de coeficientes es par o impar sin expandir f de menos x a mano y arriesgar errores de signo en cada término. Los generadores de exámenes y los complementos de LMS necesitan un oráculo determinista que marque el polinomio nulo como both y rechace la entrada vacía en lugar de tratarla en silencio como un cero constante que un calificador defectuoso podría malinterpretar.

Los frontales de álgebra computacional y los cuadernos simbólicos suelen querer un prefiltro barato antes de simplificaciones más pesadas: si un polinomio ya es puramente par o puramente impar, se puede omitir la mitad de los términos en una expansión de f de menos x. La validación fallida no consume saldo.