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多項式の偶奇対称性チェッカー

Q: 自分で f(-x) を展開する必要はありますか？

いいえ。 分類は非零項の指数の偶奇だけを調べ、標本点での多項式評価は行いません。

1, 0, -3, 0, 2 と入力すると、x^4 - 3x^2 + 2 は偶関数だと分かります。0 でない項がすべて偶数次だからです。指数を直接読むので、f(-x) を手で展開する必要はありません。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

係数: 1, 0, -3, 0, 2

結果

次数: 4
多項式: x^4-3x^2+2
対称性: even
偶数の指数: 4, 2, 0

偶関数と奇関数は、多くの微積分の学習者が最初に出会う対称性の判定です。fが偶であるとは、マイナスxにおけるfがxにおけるfと等しいこと、奇であるとは、マイナスxにおけるfがfの符号反転と等しいことを指します。一変数多項式では、この判定は実際に現れる指数の偶奇という単純な規則に帰着します。偶多項式に残れるのは偶数次だけ、奇多項式に残れるのは奇数次だけ、混在すればどちらでもなく、零多項式は両方です。本チェッカーは係数を最高次から順に受け取り、非零係数を持つ偶指数と奇指数を列挙し、明確な対称性ラベルと真偽フラグを返します。

多項式における偶と奇の意味

実関数fが偶であるとは、xをマイナスxに置き換えてもy軸に関する鏡映でグラフが変わらないこと、すなわち定義域のすべてのxでマイナスxのfがxのfと等しいことです。奇であるとは、グラフが原点対称であること、すなわちマイナスxのfがfの符号反転と等しいことです。この二つの恒等式は空虚な意味では排他的ではなく、零関数は両方を満たします。

なぜなら零は自身の符号反転と等しいからです。kが偶数の項は不変なので偶関数に属し、kが奇数の項は符号が反転するので奇関数に属します。したがって多項式が偶であるのは非零係数がすべて偶数指数にあるとき、奇であるのは非零係数がすべて奇数指数にあるとき、両方であるのは係数がすべて零のとき、どちらでもないのは台が少なくとも一つの偶次と一つの奇次を含むときです。

本チェッカーは標本点でfを評価する必要がなく、係数ベクトルを一度読み、非零スロットの偶奇を記録し、教科書どおりの分類を出力します。有限の浮動小数係数については零近傍のノイズを軽く除去したうえで結果は厳密であり、学習者に f のマイナスx展開ではなく指数の確認を求める採点とも一致します。

偶奇の判定が役立つ場面

教室やチュータリング基盤では、学習者が係数リストが偶か奇かを確認する際に、手作業で f のマイナスxを展開して各項の符号ミスを招かないよう、多項式の偶奇対称性チェッカーが使われます。試験生成器と LMS プラグインには、零多項式を both と判定し、空入力を黙って定数零として扱うのではなく拒否する決定的なオラクルが必要です。

計算機代数のフロントエンドや記号ノートブックは、重い簡約の前に安い前置フィルタを欲することが多く、多項式がすでに純偶または純奇なら f のマイナスx展開の半分の項を省略できます。検証失敗は残高を消費しません。

活用例

教室と宿題の確認

学習者に係数リストを提出させ、微積分の教科書の指数偶奇規則に照らして even、odd、neither、both を検証します。

試験とLMSの自動採点

零多項式を both と扱い、混在偶奇ラベルを決して捏造しない決定的オラクルで偶奇分類問題を採点します。

CAS前置フィルタとノートブック

多項式がすでに純偶または純奇のとき、重い記号処理の前に f(-x) 展開の半分を省略します。

よくある質問

多項式が偶になる条件は？

非零係数を持つのは偶数次だけなので f(-x)=f(x) です。例：x^4−3x^2+2 は偶、x^3+x は奇です。

零多項式はどうなりますか？

係数がすべて零なので f(-x)=0=f(x)=-f(x) です。

自分で f(-x) を展開する必要はありますか？

いいえ。分類は非零項の指数の偶奇だけを調べ、標本点での多項式評価は行いません。

多項式が偶か奇かはどう確認しますか？

最高次から定数項まで順に係数を入力します。x^4 - 3x^2 + 2 なら 1, 0, -3, 0, 2 です。0 でない係数が偶数次にしかないため、この多項式は偶関数と判定されます。

x + 1 が偶でも奇でもないのはなぜですか？

奇数次の x と、偶数次にあたる定数項が混ざっているためです。偶関数は偶数次だけ、奇関数は奇数次だけで成り立つので、両方を含むとどちらの条件も満たしません。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0,-3,0,2]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0,
      -3,
      0,
      2
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0,
        -3,
        0,
        2
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0,2]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/polynomial-symmetry", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "coefficients": [
    1,
    0,
    -3,
    0,
    2
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.polynomial_symmetry",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

多項式における偶と奇の意味

a_sub_k に x の k 乗を掛けた和として書かれた多項式では、xをマイナスxに置き換えると各項がマイナス1のk乗で倍になります。

入力契約、応答形、エラーの扱い

coefficients は有限数の空でない配列で、最高次から最低次の順です。添字零の要素は x の n 乗の先頭係数（nは長さマイナス1）で、最後の要素は定数項です。零は許され、欠けた次数を示すだけで、偶奇の集合は変えません。成功時は整理済み係数を返し、有効次数を非零係数を持つ最高次（零多項式では0）として報告し、表示用の簡潔な多項式文字列を再出力し、symmetry を even、odd、neither、both のいずれかに設定します。例：係数 1,0,-3,0,2 は x の四乗から三 x の二乗を引いて二を加えた式で偶、1,0,1,0 は x の三乗プラス x で奇、1,1 は x プラス一でどちらでもありません。必須フィールド coefficients を含む JSON 本体を POST してください。同じ配列に対し別名 coeffs と poly も受け付けます。空配列、配列以外、欠落フィールド、非有限値は invalid_input で失敗し課金されません。暴走ペイロードが過大な走査を強いないよう次数には安全上限があります。真偽フィールド is_even と is_odd は古典的な恒等式を写すため、文字列列挙よりフラグを好むクライアントに余分な分岐は不要です。配列 even_exponents と odd_exponents は非零係数を持った次数を降順で列挙します。nonzero_term_count はその合計長で、formula は UI フッタ向けに偶奇規則を一行で再述します。

多項式対称性APIが価値を生む場面

フーリエ級数、偶奇拡張、対称区間上の積分を導入する工学カリキュラムも同じ語彙に依るため、小さな parse API だけで対話デモを組み、フルの計算機代数系を立てずに済みます。実装は純 parse の tier A のため、成功した各呼び出しはモデルトークンも外向きネットワークもなく公開の基本価格 $0.002 です。

技術的な質問

多項式が偶か奇かをどう確認しますか？

係数を最高次から順に送ってください。APIは非零係数を持つ偶指数と奇指数を列挙し、symmetry を even、odd、neither、both（零多項式）で返します。

多項式対称性チェッカーの料金は？

ブラウザツールは無料です。APIリクエストは成功した呼び出しごとに前払いKIT残高から $0.002 で、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

多項式の偶奇対称性チェッカー

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CAS前置フィルタとノートブック

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関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

多項式における偶と奇の意味

入力契約、応答形、エラーの扱い

多項式対称性APIが価値を生む場面

技術的な質問

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