Vérifier une fonction paire ou impaire
Saisissez un polynôme et sachez s’il est pair, impair ou ni l’un ni l’autre : 3x⁴ − 2x² + 7 est pair, car remplacer x par −x ne le change pas. f(x) et f(−x) s’affichent côte à côte. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Texte
- f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7
- Classification
- even
- Degré
- 4
- F x
- 3x^4 - 2x^2 + 7
- f(−x)
- 3x^4 - 2x^2 + 7
Ce vérificateur de fonctions paires ou impaires détermine la symétrie d’un polynôme en remplaçant x par son opposé, puis en comparant le résultat à la fonction initiale. Saisissez une expression comme 3x^4 - 2x^2 + 7, x^5 - 4x ou un polynôme comportant des puissances paires et impaires. Le résultat affiche les formes normalisées de f(x) et f(-x), indique l’identité pertinente et classe le polynôme comme pair, impair, ni l’un ni l’autre, ou les deux dans le cas particulier du polynôme nul.
Comment tester la symétrie d’un polynôme
Une fonction est paire lorsque le remplacement de x par -x ne modifie pas sa valeur : le critère est donc f(-x) = f(x). Elle est impaire lorsque cette substitution inverse tout le résultat, ce qui donne f(-x) = -f(x). Ce vérificateur effectue la substitution algébriquement au lieu de tester quelques points numériques.
Il analyse le polynôme, regroupe les termes semblables, développe les produits et les puissances entières positives ou nulles, puis change le signe de chaque coefficient associé à une puissance impaire de x. La forme normalisée de f(-x) est ensuite comparée coefficient par coefficient à f(x) et à -f(x). Cette comparaison symbolique rend la conclusion valable pour tout x réel, et pas seulement pour quelques valeurs choisies.
Vous pouvez saisir une expression seule ou une notation telle que f(x)=2x^6-5x^2+1. Les parenthèses, les signes de multiplication, la multiplication implicite, les coefficients décimaux et la notation scientifique sont acceptés tant que l’expression reste un polynôme en x.
Comprendre les résultats pair, impair et aucun des deux
Un polynôme pair ne conserve aucun terme de puissance impaire après regroupement des termes semblables. Les constantes et les termes comme x^2, x^4 et x^8 respectent donc la symétrie paire, qui correspond géométriquement à une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées. Un polynôme impair ne conserve aucun terme de puissance paire, y compris aucun terme constant non nul.
Les termes comme x, x^3 et x^7 respectent la symétrie impaire, équivalente à une rotation de 180 degrés autour de l’origine. Un polynôme qui conserve les deux types de puissances n’est ni pair ni impair, même si certaines parties semblent symétriques isolément. Les annulations comptent : une saisie peut comporter des termes impairs qui s’annulent lors de la simplification et définir malgré tout une fonction paire.
Le polynôme nul est le seul à satisfaire les deux identités, car zéro est égal à son opposé. La relation affichée précise l’identité démontrée et les expressions normalisées rendent la comparaison des signes directement vérifiable.
Règles de saisie et contrôles utiles
Utilisez x comme variable et les opérations polynomiales usuelles : addition, soustraction, multiplication, parenthèses et puissances écrites avec un accent circonflexe. Les exposants doivent être des entiers positifs ou nuls, car x^-1, x^0.5, les racines carrées, la division par x et les fonctions trigonométriques ne sont pas des polynômes. Pour un contrôle manuel rapide, observez les exposants après simplification : uniquement des exposants pairs signifie que la fonction est paire, uniquement des exposants impairs qu’elle est impaire, et un mélange qu’elle n’est ni l’un ni l’autre.
Développez néanmoins les produits et regroupez les termes avant de conclure. Par exemple, (x+1)(x-1) semble présenter des facteurs mixtes, mais se simplifie en x^2-1 et est pair. Ajouter une constante à un polynôme impair produit généralement une fonction sans l’une de ces symétries.
Cet outil sert à vérifier des exercices, illustrer la symétrie et tester des polynômes générés.
Cas d’usage
Vérifier un exercice d’algèbre
Contrôlez une classification de symétrie déjà obtenue et consultez la forme normalisée de f(-x) qui la justifie.
Enseigner la symétrie des fonctions
Montrez comment les puissances paires et impaires réagissent différemment lorsque x est remplacé par son opposé.
Valider des polynômes générés
Confirmez par programme qu’un polynôme construit conserve la symétrie paire ou impaire exigée par un modèle.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qui rend une fonction paire ?
Une fonction est paire si f(-x) est égal à f(x) sur tout son domaine. Dans un polynôme simplifié, chaque terme non nul possède un exposant pair.
Qu’est-ce qui rend une fonction impaire ?
Une fonction est impaire si f(-x) est égal à -f(x). Dans un polynôme simplifié, chaque terme non nul possède un exposant impair et le terme constant vaut zéro.
Un polynôme peut-il n’être ni pair ni impair ?
Oui. Un polynôme simplifié contenant au moins un terme non nul de puissance paire et un autre de puissance impaire n’est ni pair ni impair.
Une fonction peut-elle être à la fois paire et impaire ?
Seul le polynôme nul l’est, puisqu’il est égal à son opposé. L’outil classe ce cas particulier comme les deux à la fois au lieu de le forcer dans une catégorie.
Pourquoi ne pas simplement tester quelques nombres ?
Quelques valeurs peuvent concorder par hasard. Ici, le signe de chaque terme de puissance impaire est inversé et les coefficients sont comparés : la réponse vaut donc pour tout x réel.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
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curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd \
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-d '{"text":"f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd", {
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"text":"f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"}`)
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"text": "f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.function_even_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comprendre les résultats pair, impair et aucun des deux
Le vérificateur indique even_and_odd dans ce cas au lieu de choisir arbitrairement une catégorie.
Règles de saisie et contrôles utiles
L’analyseur limite aussi le degré développé afin qu’une puissance énorme saisie par erreur ne mobilise pas trop de ressources du navigateur ou de l’API. Les requêtes API coûtent $0.002, tandis que le navigateur emploie le même solveur déterministe.
Questions techniques
La fonction nulle est-elle paire ou impaire ?
Elle est les deux. La fonction nulle vérifie f(-x)=f(x) et f(-x)=-f(x) ; le résultat est donc indiqué comme even_and_odd.
Combien coûte une requête API ?
Chaque requête API coûte $0.002. Le même calcul déterministe est également disponible dans le navigateur.