Verificador de função par ou ímpar
Digite um polinômio e descubra se ele é par, ímpar ou nenhum dos dois: 3x⁴ − 2x² + 7 é par, porque trocar x por −x não o altera. f(x) e f(−x) aparecem lado a lado. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Texto
- f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7
- Classificação
- even
- Grau
- 4
- F x
- 3x^4 - 2x^2 + 7
- f(−x)
- 3x^4 - 2x^2 + 7
Este verificador de funções pares ou ímpares determina a simetria de um polinômio substituindo x por seu oposto e comparando o resultado com a função original. Insira uma expressão como 3x^4 - 2x^2 + 7, x^5 - 4x ou um polinômio com potências pares e ímpares. O resultado apresenta as formas normalizadas de f(x) e f(-x), informa a identidade aplicável e classifica o polinômio como par, ímpar, nenhum ou ambos no caso especial do polinômio zero.
Como testar a simetria de um polinômio
Uma função é par quando substituir x por -x não altera seu valor; portanto, o teste que a define é f(-x) = f(x). Uma função é ímpar quando a mesma substituição inverte todo o resultado, produzindo f(-x) = -f(x). Este verificador faz essa substituição algebricamente, em vez de testar apenas alguns pontos numéricos.
Ele analisa o polinômio, reúne termos semelhantes, expande produtos e potências inteiras não negativas e, em seguida, troca o sinal de cada coeficiente ligado a uma potência ímpar de x. A forma normalizada de f(-x) pode então ser comparada, coeficiente por coeficiente, com f(x) e -f(x). Como a comparação é simbólica, a resposta vale para todo x real, e não somente para valores escolhidos como amostra.
Você pode inserir uma expressão isolada ou usar uma notação como f(x)=2x^6-5x^2+1. Parênteses, sinais de multiplicação, multiplicação implícita, coeficientes decimais e notação científica são aceitos, desde que a expressão continue representando um polinômio em x.
Como interpretar os resultados par, ímpar e nenhum
Um polinômio par não contém termos de potência ímpar após a combinação dos termos semelhantes. Constantes e termos como x^2, x^4 e x^8 são, portanto, compatíveis com a simetria par, que geometricamente corresponde à reflexão em torno do eixo y. Um polinômio ímpar não contém termos de potência par, inclusive nenhum termo constante diferente de zero.
Termos como x, x^3 e x^7 correspondem à simetria ímpar, equivalente a uma rotação de 180 graus em torno da origem. Um polinômio com os dois tipos de potência é classificado como nenhum, mesmo que partes dele pareçam simétricas isoladamente. Cancelamentos são importantes: uma entrada pode conter termos ímpares que se anulam durante a simplificação e ainda definir uma função par.
O polinômio zero é o único que satisfaz as duas identidades, porque zero é igual ao próprio oposto. A relação exibida explica qual identidade foi comprovada, e as expressões normalizadas permitem conferir visualmente a mudança dos sinais.
Regras de entrada e verificações úteis
Use x como variável e as operações polinomiais comuns: adição, subtração, multiplicação, parênteses e potências escritas com acento circunflexo. Os expoentes devem ser inteiros não negativos, pois expressões como x^-1, x^0.5, raízes quadradas, divisão por x e funções trigonométricas não são polinômios. Para uma conferência manual rápida, observe os expoentes depois da simplificação: somente expoentes pares indicam uma função par; somente expoentes ímpares indicam uma função ímpar; e uma mistura indica nenhum dos casos.
Ainda assim, expanda os produtos e combine os termos antes de decidir. Por exemplo, (x+1)(x-1) parece ter fatores mistos, mas se simplifica para x^2-1 e é par. Por outro lado, acrescentar uma constante a um polinômio ímpar normalmente faz com que ele não seja par nem ímpar.
A ferramenta ajuda a revisar exercícios, demonstrar simetria, preparar expressões e testar polinômios gerados.
Casos de uso
Revisar exercícios de álgebra
Confira uma classificação de simetria já resolvida e veja a forma normalizada de f(-x) usada para justificá-la.
Ensinar simetria de funções
Demonstre como potências pares e ímpares reagem de maneiras diferentes quando x é substituído por seu oposto.
Validar polinômios gerados
Confirme por código que um polinômio construído preserva a simetria par ou ímpar exigida por um modelo.
Perguntas frequentes
O que torna uma função par?
Uma função é par quando f(-x) é igual a f(x) em todo o seu domínio. Em um polinômio simplificado, todo termo diferente de zero tem expoente par.
O que torna uma função ímpar?
Uma função é ímpar quando f(-x) é igual a -f(x). Em um polinômio simplificado, todo termo diferente de zero tem expoente ímpar e o termo constante é zero.
Um polinômio pode não ser par nem ímpar?
Sim. Um polinômio simplificado com pelo menos um termo não nulo de potência par e outro de potência ímpar não pertence a nenhuma categoria.
Uma função pode ser par e ímpar ao mesmo tempo?
Só o polinômio zero, porque ele é igual ao próprio oposto. A ferramenta classifica esse caso especial como ambos, em vez de forçá-lo em um único grupo.
Por que não basta testar alguns números?
Alguns valores podem coincidir por acaso. Aqui o sinal de cada termo de potência ímpar é trocado e os coeficientes são comparados, então a resposta vale para todo x real.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"text":"f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"text": "f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"text": "f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"text":"f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"text":"f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-even-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"text": "f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7"
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.function_even_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como interpretar os resultados par, ímpar e nenhum
O verificador apresenta esse caso como even_and_odd, sem escolher arbitrariamente uma categoria.
Regras de entrada e verificações úteis
O analisador também limita o grau após a expansão para evitar que uma potência enorme inserida por engano consuma recursos excessivos do navegador ou da API. As solicitações de API custam US$ 0,002, enquanto a versão no navegador usa o mesmo solucionador determinístico.
Perguntas técnicas
A função zero é par ou ímpar?
Ela é ambas. A função zero satisfaz f(-x)=f(x) e f(-x)=-f(x), por isso o resultado é apresentado como even_and_odd.
Quanto custa uma solicitação de API?
Cada solicitação de API custa US$ 0,002. O mesmo cálculo determinístico também está disponível no navegador.