Gerade oder ungerade Funktion prüfen

Dieser Prüfer ermittelt die Symmetrie einer Polynomfunktion, indem er x durch sein Negatives ersetzt und das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion vergleicht. Geben Sie einen Ausdruck wie 3x^4 - 2x^2 + 7, x^5 - 4x oder ein Polynom mit geraden und ungeraden Potenzen ein. Das Ergebnis zeigt die normalisierten Formen von f(x) und f(-x), nennt die zutreffende Identität und stuft das Polynom als gerade, ungerade, keines von beidem oder – im Sonderfall des Nullpolynoms – beides ein.

So prüfen Sie ein Polynom auf Symmetrie

Eine Funktion ist gerade, wenn das Ersetzen von x durch -x ihren Wert nicht verändert; das entscheidende Kriterium lautet daher f(-x) = f(x). Eine Funktion ist ungerade, wenn dieselbe Ersetzung das gesamte Ergebnis umkehrt, sodass f(-x) = -f(x) gilt. Dieser Prüfer führt die Ersetzung algebraisch durch, statt lediglich einige Zahlenwerte zu testen.

Er analysiert das Polynom, fasst gleichartige Terme zusammen, multipliziert Produkte und nichtnegative ganzzahlige Potenzen aus und kehrt anschließend das Vorzeichen jedes Koeffizienten um, der zu einer ungeraden Potenz von x gehört. Danach wird die normalisierte Form von f(-x) Koeffizient für Koeffizient mit f(x) und -f(x) verglichen. Da der Vergleich symbolisch erfolgt, gilt die Antwort für jedes reelle x und nicht nur für ausgewählte Stichproben.

Sie können einen bloßen Ausdruck oder eine Schreibweise wie f(x)=2x^6-5x^2+1 eingeben. Klammern, Multiplikationszeichen, implizite Multiplikation, Dezimalkoeffizienten und wissenschaftliche Notation werden unterstützt, solange der Ausdruck ein Polynom in x beschreibt.

Die Ergebnisse gerade, ungerade und weder noch verstehen

Ein gerades Polynom enthält nach dem Zusammenfassen gleichartiger Terme keine verbleibenden Terme mit ungerader Potenz. Konstanten und Terme wie x^2, x^4 und x^8 entsprechen daher gerader Symmetrie, die geometrisch eine Spiegelung an der y-Achse bedeutet. Ein ungerades Polynom enthält keine verbleibenden Terme mit gerader Potenz und insbesondere keinen von null verschiedenen konstanten Term.

Terme wie x, x^3 und x^7 entsprechen ungerader Symmetrie, also einer Drehung um 180 Grad um den Ursprung. Ein Polynom mit beiden Potenzarten ist weder gerade noch ungerade, selbst wenn einzelne Teile für sich symmetrisch wirken. Aufhebungen sind wichtig: Eine Eingabe kann ungerade Terme enthalten, die sich beim Vereinfachen aufheben, und trotzdem eine gerade Funktion definieren.

Das Nullpolynom ist das einzige Polynom, das beide Identitäten erfüllt, weil null ihrem eigenen Negativen entspricht. Die angezeigte Beziehung nennt die nachgewiesene Identität, und anhand der normalisierten Ausdrücke lassen sich die Vorzeichen unmittelbar kontrollieren.

Eingaberegeln und hilfreiche Kontrollen

Verwenden Sie x als Variable und die üblichen Polynomoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Klammern und mit einem Zirkumflex geschriebene Potenzen. Exponenten müssen nichtnegative ganze Zahlen sein, denn Ausdrücke wie x^-1, x^0.5, Quadratwurzeln, Divisionen durch x und trigonometrische Funktionen sind keine Polynome. Betrachten Sie für eine schnelle manuelle Kontrolle die Exponenten nach dem Vereinfachen: Nur gerade Exponenten bedeuten gerade, nur ungerade Exponenten bedeuten ungerade, und eine Mischung bedeutet weder noch.

Multiplizieren Sie Produkte dennoch aus und fassen Sie Terme zusammen, bevor Sie urteilen. Beispielsweise sieht (x+1)(x-1) zunächst gemischt aus, vereinfacht sich aber zu x^2-1 und ist gerade. Dagegen macht eine hinzugefügte Konstante ein ungerades Polynom gewöhnlich weder gerade noch ungerade.

Das Werkzeug eignet sich zur Hausaufgabenkontrolle, zur Veranschaulichung von Symmetrie und zum Test generierter Polynome.