ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة الخط العمودي على السطح

على الكرة x² + y² + z² عند النقطة (1, 2, 2) يكون التدرج (2, 4, 4)، فالخط العمودي هو r(t) = (1, 2, 2) + t·(2, 4, 4) ومتجه الوحدة العمودي هو (1, 2, 2) مقسوماً على 3. مجاناً في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

X0: 1
Y0: 2
Z0: 2
Fx: 2
Fy: 4
Fz: 4

تحصل على

التدرج: 2, 4, 4
الاتجاه: 2, 4, 4
مقدار التدرج: 6
المتجه العمودي الوحدوي: 0.3333333333, 0.6666666667, 0.6666666667

في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات يكون تدرج دالة المستوى F متعامدًا مع كل اتجاه مماس في السطح F(x,y,z) يساوي c. عندما تقيّمون المشتقات الجزئية عند نقطة التماس، يكون ذلك المتجه الواحد اتجاه الخط العمودي الوحيد المار بالنقطة. يحتاج الطلاب والمدرّسون وسكربتات الأتمتة إلى تلك المعادلات البارامترية دون إعادة اشتقاق الجبر لكل سطح واجب. تقبل حاسبة الخط العمودي على سطح إحداثيات النقطة الثلاث ومكوّنات التدرج الثلاث، وترفض التدرج الصفري كحالة شاذة، وتعيد معادلات بارامترية لكل مكوّن والشكل المتجهي r(t) والشكل المتناظر ومقدار التدرج والعمودي الوحدوي.

ما الخط العمودي ولماذا التدرج هو اتجاهه

سطح المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو مجموعة النقاط التي يأخذ عندها حقل عددي أملس F قيمة ثابتة c. عند نقطة منتظمة P0 على ذلك السطح يكون متجه التدرج المكوّن من المشتقات الجزئية الأولى الثلاث ل F عموديًا على المستوى المماسي: كل منحنٍ يبقى على السطح ويمر ب P0 له متجه سرعة متعامد مع التدرج. لذا فالخط المار ب P0 والموازي للتدرج هو الخط العمودي على السطح عند تلك النقطة.

بالشكل البارامتري يُكتب الخط r من t يساوي P0 زائد t مضروبًا في التدرج عند P0، ويتوسع مكوّنًا إلى x يساوي x0 زائد F_x في t، وy يساوي y0 زائد F_y في t، وz يساوي z0 زائد F_z في t. عندما لا تكون أي مشتقة جزئية صفرًا، تسمح الهندسة نفسها بشكل متناظر يساوي بين الكسور الثلاثة (x ناقص x0) على F_x و(y ناقص y0) على F_y و(z ناقص z0) على F_z. إذا اختفت مشتقة جزئية واحدة، تُثبَّت الإحداثية المقابلة عند نقطة التماس ويحافظ العرض المتناظر على ذلك القيد صراحة.

تقيّمون F_x وF_y وF_z بأنفسكم لأي F جبرية في مسألتكم—كرة أو إهليلجي أو زائدي أو رسم z يساوي g من x وy مكتوبًا ك F يساوي z ناقص g أو متعدد حدود عام—وتدخلون الأعداد الستة إلى الحاسبة للحصول على وصف مستقر ومقرَّب للخط.

أين نحتاج إلى الخط العمودي

تفرض مقررات التفاضل متعدد المتغيرات عشرات تمارين إيجاد الخط العمودي كل فصل: كرات وأسطوانات ورسوم معاد كتابتها كمجموعات مستوى وتقاطعات مع مستويات. يمكن لمنصة LMS أو للتدريس أن تقيّم المعاملات البارامترية باستدعاء أوراكل حتمي بدل تحليل نثر حر من الطالب. تحتاج دفاتر الفيزياء والهندسة غالبًا خط أشد صعود لجهد أو العمودي الهندسي للانعكاس والانكسار بعد معرفة المشتقات الجزئية من النموذج.

يمكن لمولّدات الامتحانات أن تأخذ عينات نقاط على سطوح الكتب وتحسب التدرج خارج الخط وتتحقق من إجابات المتعلم مقابل الحقول البارامترية المقرَّبة. أبقوا الطلبات صغيرة وثبّتوا التدرج والسلاسل البارامترية المقرَّبة في الاختبارات لتحصلوا على خطوط عمودية قابلة للتكرار للواجبات وعمال الحافة وسكربتات البحث دون نصب نظام جبر حاسوبي كامل لهوية هندسية من ستة أعداد.

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل متعدد المتغيرات

حوّلوا تدرجًا مقيَّمًا ونقطة تماس إلى معادلات بارامترية ومتناظرة للخط العمودي لأسطح الكتب دون أخطاء جبرية.

تصحيح تلقائي في LMS والامتحانات

قيّموا إجابات الطلاب عن الخط العمودي مقابل أوراكل بارامتري حتمي يرفض النقاط الشاذة ذات التدرج الصفري كغير صالحة.

هندسة في الدفاتر وتحضير CAD

أصدروا اتجاه العمودي والعمودي الوحدوي عند عينة سطح للتصور أو نماذج الانعكاس أو تشخيص الشبكات من مشتقات جزئية معروفة.

الأسئلة الشائعة

كيف أجد الخط العمودي البارامتري على سطح؟

قيّموا ∇F عند نقطة التماس وأرسلوا x0 وy0 وz0 مع fx وfy وfz.

لماذا يكون التدرج اتجاه الخط العمودي؟

على مجموعة المستوى F=c يكون التدرج متعامدًا مع كل متجه مماس في السطح، فالخط الوحيد المار بالنقطة والموازي ل ∇F هو الخط العمودي.

ماذا لو كان التدرج صفرًا عند نقطتي؟

التدرج الصفري يعني أن السطح قد يكون شاذًا هناك ولا يُعرَّف خط عمودي وحيد.

هل يلزم إرسال صيغة F نفسها؟

لا. احسبوا المشتقات الجزئية الثلاث عند النقطة خارج الخط (يدويًا أو ب CAS) وأرسلوا تلك الأعداد مع إحداثيات النقطة.

ما طول التدرج (2, 4, 4) وما متجه الوحدة العمودي؟

طوله 6. وبقسمة كل مركبة على 6 نحصل على متجه الوحدة العمودي، أي (1, 2, 2) مقسوماً على 3، وهو في اتجاه الخط العمودي لكن طوله واحد.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/normal-line-surface

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/normal-line-surface \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"x0":1,"y0":2,"z0":2,"fx":2,"fy":4,"fz":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/normal-line-surface", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "x0": 1,
    "y0": 2,
    "z0": 2,
    "fx": 2,
    "fy": 4,
    "fz": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/normal-line-surface",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "x0": 1,
    "y0": 2,
    "z0": 2,
    "fx": 2,
    "fy": 4,
    "fz": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/normal-line-surface", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"x0":1,"y0":2,"z0":2,"fx":2,"fy":4,"fz":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"x0":1,"y0":2,"z0":2,"fx":2,"fy":4,"fz":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/normal-line-surface", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "x0": 1,
  "y0": 2,
  "z0": 2,
  "fx": 2,
  "fy": 4,
  "fz": 4
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.normal_line_surface",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

المنطق التحليلي نفسه (parse) يشغّل الأداة المجانية في المتصفح ومسار API المدفوع مسبقًا، فتطابق فحوصات القاعة وأنابيب الإنتاج دائمًا على الخط نفسه.

ما الخط العمودي ولماذا التدرج هو اتجاهه

يشير التدرج الصفري إلى نقطة حرجة ل F قد يكون السطح عندها شاذًا أو قد لا يعرّف مجموعة المستوى مستوى مماسيًا وحيدًا؛ يرفض هذا الطرف تلك الحالة ب invalid_input بدل اختراع اتجاه اعتباطي.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وقواعد التحقق

إذا كانت مكوّنات التدرج الثلاث كلها صفرًا (ضمن تسامح عددي ضئيل)، تفشل المهمة برسالة واضحة بأن تدرجًا صفريًا لا ينتج خطًا عموديًا وحيدًا. مثال: للكرة F تساوي x تربيعًا زائد y تربيعًا زائد z تربيعًا عند النقطة (1, 2, 2) يكون التدرج (2, 4, 4) والخط البارامتري x يساوي 1 زائد 2t وy يساوي 2 زائد 4t وz يساوي 2 زائد 4t والعمودي الوحدوي هو المتجه المعيَّر (1, 2, 2) على ثلاثة. اقرنوا السلاسل بطبقة رسم خاصة إن احتجتم مخططًا ثلاثي الأبعاد؛ هذه القدرة تعيد أعدادًا ونص معادلات فقط. أرسلوا جسم JSON بست أعداد منتهية إلزامية: x0 وy0 وz0 لنقطة التماس على السطح، وfx وfy وfz للمشتقات الجزئية ل F عند تلك النقطة (مكوّنات التدرج). تُقبل أسماء بديلة قصيرة: x وy وz أو px وpy وpz للنقطة؛ وFx وFy وFz أو gradient_x وgradient_y وgradient_z للتدرج. الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والقيم غير العددية والأعداد غير المنتهية تفشل ب invalid_input مع تسمية الحقل ولا تُفوتر. عند النجاح يعيد الجسم النقطة والتدرج المنظَّفين ومصفوفة gradient ومصفوفة direction (نسختان متطابقتان من الجزئيات الثلاث) وgradient_magnitude كالمعيار الإقليدي للتدرج وunit_normal كالتدرج مقسومًا على ذلك المقدار وparametric_x وparametric_y وparametric_z كمعادلات مكوّنات مقروءة وparametric_vector كشكل r(t) المدمج وsymmetric كالشكل المتناظر أو المقيّد بثلاثة أجزاء وسلسلة formula تعيد هوية r(t) يساوي P0 زائد t مضروبًا في التدرج.

أين تجني واجهة API للخط العمودي قيمتها

تستفيد مواقع المحتوى التي تتصدّر لعبارة حاسبة الخط العمودي على سطح من أداة مجانية حية يطابق مسار المتصفح فيها مسار الأتمتة المدفوعة على الوحدة النقية نفسها، فلا تختلف صفحات التسويق وعملاء API على معامل. لأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، تكلّف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 دون رموز نموذج ولا شبكة صادرة، ولا يستهلك فشل التحقق الرصيد.

أسئلة تقنية

كم تكلفة حاسبة الخط العمودي على سطح؟

أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل مكالمة ناجحة؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما الخط العمودي ولماذا التدرج هو اتجاهه

أين نحتاج إلى الخط العمودي

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل متعدد المتغيرات

تصحيح تلقائي في LMS والامتحانات

هندسة في الدفاتر وتحضير CAD

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما الخط العمودي ولماذا التدرج هو اتجاهه

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وقواعد التحقق

أين تجني واجهة API للخط العمودي قيمتها

أسئلة تقنية

شكرًا