ForHosting KIT · الرياضيات

خط تقاطع مستويين

أدخل معاملات مستويين واحصل على الخط الذي يتقاطعان فيه على صورة نقطة واتجاه: المستويان x+y+z وx−y+z، وكلاهما يساوي 1، يتقاطعان في الخط المار بالنقطة (0.5, 0, 0.5) في الاتجاه (2, 0, −2). مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

A1: 1
B1: 1
C1: 1
D1: ‎-1
A2: 1
B2: ‎-1

تحصل على

N1: 1, 1, 1
N2: 1, ‎-1, 1
الاتجاه: 2, 0, ‎-2
Dx: 2

مستويان متمايزان في الفضاء الثلاثي إما يبقيان متوازيين ولا يلتقيان أبدًا، وإما يقطع أحدهما الآخر على طول مستقيم وحيد. إيجاد خط تقاطع مستويين مهمة كلاسيكية في الهندسة التحليلية: الاتجاه هو الجداء الاتجاهي لناظمَي المستويين، وأي نقطة خاصة تحقق معادلتي ديكارت تثبّت الصورة الوسيطية r لـ t تساوي النقطة زائد t في الاتجاه. يصادف الطلاب وسكربتات CAD ومهندسو الرسوم البيانية المعاملات الثمانية نفسها مرارًا: a1 وb1 وc1 وd1 للمستوى الأول وa2 وb2 وc2 وd2 للثاني.

ما خط التقاطع وكيف تثبّته الصيغ

المستوى بالصورة الديكارتية هو مجموعة النقاط r تساوي (x, y, z) التي تحقق n · r زائد d يساوي صفرًا، حيث n ناظم غير صفري. اكتبوا المستوى الأول a1 x زائد b1 y زائد c1 z زائد d1 يساوي صفرًا والثاني a2 x زائد b2 y زائد c2 z زائد d2 يساوي صفرًا. كل متجه يقع في المستوى الأول يتعامد مع n1 يساوي (a1, b1, c1)؛ وكل متجه يقع في الثاني يتعامد مع n2 يساوي (a2, b2, c2).

لذلك أي اتجاه يقع في المستويين يتعامد مع الناظمين معًا، وهذا هو المعنى الهندسي للجداء الاتجاهي: اتجاه خط التقاطع v يساوي n1 ضرب n2. إذا كان ذلك الجداء الاتجاهي المتجه الصفري فالناظمان مرتبطان خطيًا، والمستويان متوازيان — بما في ذلك حالة التطابق حيث هما المستوى نفسه مكتوبًا مرتين — ولا يوجد خط وحيد لإعادته. عندما يكون الجداء الاتجاهي غير صفري يلتقي المستويان على طول خط واحد، والمهمة المتبقية تسمية نقطة خاصة على ذلك الخط.

يختار هذا الحال النقطة الوحيدة على الخط الأقرب إلى الأصل، وهي تقع دائمًا في فضاء n1 وn2. حل جملة غرام اثنين في اثنين n1 · r0 يساوي ناقص d1 وn2 · r0 يساوي ناقص d2 للمعاملين ألفا وبيتا يعطي r0 يساوي ألفا n1 زائد بيتا n2. محددة غرام تساوي مربع طول n1 ضرب n2 بهوية لاغرانج، فالاتجاه غير الصفري يضمن نقطة أقرب وحيدة.

الخط الوسيطي إذن r لـ t يساوي r0 زائد t في (n1 ضرب n2). فحص الصف فوري: المستويان x زائد y زائد z يساوي واحدًا وx ناقص y زائد z يساوي واحدًا يلتقيان على طول r لـ t يساوي (نصفًا، صفرًا، نصفًا) زائد t في (اثنين، صفرًا، ناقص اثنين). مستوى xy حيث z يساوي صفرًا ومستوى xz حيث y يساوي صفرًا يلتقيان على طول محور x.

كل خطوة جبر متجهات ابتدائي على ثمانية مقاييس، فالنتيجة حتمية بلا تكرار وبلا اعتماد على الساعة أو بذرة عشوائية.

أين تبرر حاسبة تقاطع مستويين وجودها

تستخدم الصفوف ومنصات التدريس حاسبة خط تقاطع مستويين حتى يتحقق المتعلمون من الصورة الوسيطية لمعاملات كيفية دون خطأ إشارة في الجداء الاتجاهي أو حالة فائتة عندما لا تكون أكبر مركّبة اتجاه z. تستعيد سكربتات التصميم بمساعدة الحاسوب والنمذجة الصلبة حافة من وجهين متجاورين بصيغة ضمنية ثم تغذي الخط الوسيطي خطوة قص أو بثق. تلتقي خطوط الرسوم والهندسة الحسابية الأعداد الثمانية نفسها عندما يُعرف مستويا قص أو مستويا مرآة أو مستويا قيد ويجب أخذ عينات المفصلة المشتركة.

تستفيد مواقع المحتوى التي تترتب على خط تقاطع مستويين من ودجة حية يطابق مسار متصفحها المجاني مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها. لا يستهلك فشل التحقق الرصيد، فيبقى استكشاف السكربتات رخيصًا حين تكتبون معاملات متوازية أثناء تعلم العقد. أبقوا الطلبات صغيرة وثبّتوا الاتجاه والنقطة المقرَّبين في الاختبارات فتحصلون على خط قابل للتكرار للواجبات وإضافات LMS ومساعدات CAD وعاملات الحافة دون إقامة نظام جبر حاسوبي خاص بكم.

فضّلوا هذا العقد عندما يكون السطحان مكتوبين أصلًا مستويين ديكارتيين؛ إن لم يكن لديكم سوى ثلاث نقاط على كل مستوى فلائموا المعادلتين الضمنيتين أولًا ثم استدعوا هذا الحال. إن احتجتم الزاوية بين المستويين لا خطهما المشترك فذاك بحث آخر وحاسبة أخرى.

حالات الاستخدام

واجبات وامتحانات الهندسة التحليلية

دعوا الطلاب يرسلون المعاملات الثمانية لمستويين ديكارتيين ويتحققون من الخط الوسيطي — الاتجاه n1 ضرب n2 ونقطة على كلا المستويين — أمام طريقة الكتاب.

مفصلات الرسوم والقيود

حوّلوا مستويي قص أو مرآة أو قيد إلى خط مفصلة وسيطي تقيّمه المظللات وأدوات الأشعة والحوال دون حزمة جبر حاسوبي.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا كان المستويان متوازيين؟

عندما يكون n1 × n2 المتجه الصفري فالمستويان متوازيان أو متطابقان، فلا يحددان خط تقاطع وحيدًا ولا تُحصَّل المكالمة.

بأي صورة تأتي معادلات المستويين؟

الثلاثيتان (a1,b1,c1) و(a2,b2,c2) هما الناظمان؛ ولا يجوز لأي منهما أن يكون المتجه الصفري.

أي نقطة على الخط يعيدها الحال؟

النقطة الوحيدة على خط التقاطع الأقرب إلى الأصل. هي التركيب الخطي للناظمين الذي يحقق معادلتي المستوى، فالصورة الوسيطية قانونية لا تعتمد على أي إحداثي يُضبط صفرًا.

كيف يُحدَّد اتجاه خط التقاطع؟

هو حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهي العمود على المستويين، المكوّنين من معاملات x وy وz في كل مستوى. العموديان (1, 1, 1) و(1, −1, 1) يعطيان الاتجاه (2, 0, −2)، وهو اتجاه يقع في المستويين معًا.

كيف أتحقق من النتيجة يدويًا؟

عوّض النقطة في معادلتي المستويين. في المثال تعطي النقطة (0.5, 0, 0.5) القيمة 0.5 + 0 + 0.5 في المستوى الأول و0.5 − 0 + 0.5 في الثاني، أي 1 في الحالتين كما تطلب المعادلتان.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a1":1,"b1":1,"c1":1,"d1":-1,"a2":1,"b2":-1,"c2":1,"d2":-1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a1": 1,
    "b1": 1,
    "c1": 1,
    "d1": -1,
    "a2": 1,
    "b2": -1,
    "c2": 1,
    "d2": -1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a1": 1,
    "b1": 1,
    "c1": 1,
    "d1": -1,
    "a2": 1,
    "b2": -1,
    "c2": 1,
    "d2": -1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a1":1,"b1":1,"c1":1,"d1":-1,"a2":1,"b2":-1,"c2":1,"d2":-1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a1":1,"b1":1,"c1":1,"d1":-1,"a2":1,"b2":-1,"c2":1,"d2":-1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/line-of-intersection-of-two-planes", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a1": 1,
  "b1": 1,
  "c1": 1,
  "d1": -1,
  "a2": 1,
  "b2": -1,
  "c2": 1,
  "d2": -1
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.line_of_intersection_of_two_planes",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_abs 1000000000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تقبل هذه الحاسبة تلك المعاملات، وترفض ناظمًا صفريًا أو زوجًا متوازيًا بـ invalid_input، وتعيد متجه الاتجاه مع النقطة الوحيدة على الخط الأقرب إلى الأصل. تشغّل الدالة النقية نفسها ودجة المتصفح المجانية ومسار API بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح، فلا تختلف فحوصات الواجبات وخطوط الإنتاج على زوج من مستويات الإحداثيات ولا على قطعين مائلين.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الخطأ

إذا كانت a1 وb1 وc1 كلها صفرًا فالمستوى الأول ليس مستوىً وتُرفض المهمة؛ القاعدة نفسها للمستوى الثاني. إذا كان الجداء الاتجاهي للناظمين صفريًا عدديًا فالمستويان متوازيان بما في ذلك المتطابقين، ويفشل المعالج برسالة أنهما لا يحددان خط تقاطع وحيدًا — وتلك الإخفاقات لا تُحصَّل. تُعاد النقطة الخاصة مصفوفة point ومقاييس x0 وy0 وz0 معًا. اقرنوا الاستجابة برمز رسمكم إن احتجتم رسمًا؛ تحل هذه النهاية الخط فقط ولا تُصدر شبكات ولا نثرًا خطوة بخطوة وراء حقل formula. أرسلوا جسم JSON بثمانية أعداد منتهية إلزامية: a1 وb1 وc1 وd1 للمستوى الأول a1 x زائد b1 y زائد c1 z زائد d1 يساوي صفرًا، وa2 وb2 وc2 وd2 للمستوى الثاني مكتوبًا بالطريقة نفسها. يجوز أن يصل كل معامل عدد JSON أو سلسلة رقمية؛ تُقبل الأسماء البديلة n1x وn1y وn1z وplane1_d والأسماء المناظرة للمستوى الثاني. الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والقيم غير المنتهية والمقادير فوق سقف التريليون المنشور تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل. عند النجاح يرد الجسم المعاملات الثمانية، ويعيد صياغة الناظمين مصفوفتين n1 وn2، ويعيد direction جداءً اتجاهيًا خامًا مع المكونات القياسية dx وdy وdz وdirection_magnitude. تشمل سلاسل العرض plane1 وplane2 ومعادلات المكونات الوسيطية الثلاث parametric_x وparametric_y وparametric_z والصورة المتجهية parametric_vector وسلسلة الصورة المتناظرة وحقل formula يوثق الصيغ المغلقة. التسعير ثابت $0.002 لكل طلب ناجح بوحدة item.

أين تبرر حاسبة تقاطع مستويين وجودها

تحتاج مولّدات الاختبارات وحيًا حتميًا يسم الإدخال المتوازي غير صالح بدل إعادة حمولة نجاح فارغة بصمت قد يعاملها مصحح معطوب نجاحًا. ولأن التنفيذ parse نقي من المرتبة A تكلف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج وبلا شبكة صادرة.

حالات التكامل

حواف CAD من وجهين ضمنيين

استعيدوا الحافة المشتركة لوجهين مستويين متجاورين بالصيغة a1x+b1y+c1z+d1=0 ثم عيّنوا r(t) للقص أو التبعيد أو البثق.

أسئلة تقنية

كيف أجد خط تقاطع مستويين؟

أرسلوا المعاملات الثمانية المنتهية لـ a1x+b1y+c1z+d1=0 وa2x+b2y+c2z+d2=0. تعيد API القيمة direction = n1 × n2 والنقطة الوحيدة على الخط الأقرب إلى الأصل، مع السلسلتين الوسيطية والمتناظرة.

كم تكلفة حاسبة خط تقاطع مستويين؟

أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيدًا مدفوعًا مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُحصَّل الإدخالات غير الصالحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما خط التقاطع وكيف تثبّته الصيغ

أين تبرر حاسبة تقاطع مستويين وجودها

حالات الاستخدام

واجبات وامتحانات الهندسة التحليلية

مفصلات الرسوم والقيود

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الخطأ

أين تبرر حاسبة تقاطع مستويين وجودها

حالات التكامل

حواف CAD من وجهين ضمنيين

أسئلة تقنية

شكرًا